exercice sur les projecteurs

[invite77420056]

bonjour à tous

voici l'enoncé de l'exercice:

soit E un K-ev et p,q deux projecteurs de E
montrer que

pq=p <-----> ker q inclus dans ker p

pq=q <-----> Im q inclus dans Im p

je ne sais pas du tout par ou commencer .pourriez vous m'indiquez des pistes afin que je puisse resoudre cet exercice?


merci par avance.
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[KerLannais]

Salut,

Dans chaque cas l'implication de gauche à droite est vraiment facile et n'utilise pas le fait que p et q sont des projecteurs. Je suppose que c'est pour les implications inverses que tu as du mal. Utilise que:

de sorte que tu dois démontrer que seulement pour et et idem pour montrer la deuxième implication.

[invite77420056]

non en fait ca je savais mais c'est pour l'implication de gauche à droite que je ne comprends pas du tout.

peut tu m'expliquer?

[KerLannais]

Pour montrer l'inclusion d'un ensemble A dans un ensemble B il faut prendre un élément de l'ensemble A et montrer qu'il appartient à B. Pour montrer que

tu prend un élément de , c-à-d un vecteur tel que et tu dois montrer que

c-à-d que . Pour cela tu dois utiliser que et donc que . Je vais te donner une indication supplémentaire quand même (je suis gentil) une application linéaire envoie sur .

Je m'excuse de m'être moqué de toi mais c'est juste pour te faire comprendre que c'est trivial.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite77420056]

ok mais pourquoi la valeur 0 et pas une autre

[invite0c6e23b6]

pour ne pas ecombrer les question sur les projecteur je post ici
comment monter que la trace d'un projecteur p est égale à son rang
merci d'avance

[KerLannais]

Jonh je crois que mérite un


et c'est fini pour la première implication. mon indication n'en était pas une c'était pour me moquer, elle concernait la dernière égalité (pour montrer que p(0)=0).

Pour répondre à la question nettement plus intéressante de raji. Il faut utiliser 1- que la trace d'une matrice est invariante par changement de base (et la trace d'un endomorphisme est la trace de la matrice de l'endomorphisme dans n'importe quelle base) et 2- il existe une base dans laquelle la matrice d'un projecteur est diagonale et telle que la diagonale est constitué seulement de 0 et de 1. De sorte que le nombre de 1 est forcément égal au rang du projecteur et c'est aussi sa trace.

[invite77420056]

mais pourquoi prendre un vecteur x tel que q(x)=0. c'est ce zero là qui m'embete.

[KerLannais]

C'est la définition de . En clair montrer que est inclus dans c'est monter que tout vecteur qui annule q annule p par définition de ce qu'est un noyau

[IkenB]

C'est quoi la définition de Ker(q), Jonh ? car tout est là...
Cordialement,
IkenB

[invite77420056]

ah ben oui là tout devient plus clair d'un coup .

merci beaucoup.

[invite0c6e23b6]

comment tu justifie"il existe une base dans laquelle la matrice d'un projecteur est diagonale et telle que la diagonale est constitué seulement de 0 et de 1."
es ce qu'il y'a un theoreme que je connais pas?

[KerLannais]

Salut,

Soit un projecteur et une base de et une base de . Soit compris entre et , comme il existe un vecteur tel que et:

Soit compris entre et , comme on a

Il suffit de montrer que

est une base de . Montrons qu'elle est libre. Si:

alors

Comme est libre (parce que c'est une base) on a

et donc

Comme est libre on a

On a bien montrer que la famille est libre. Le théorème du rang dit que

Notre famille est donc libre et a autant d'éléments que la dimension de l'espace c'est donc bien une base et la matrice de dans cette base a toutes les propriétés voulues.