Convergence dans Lp

james_83 · 16/05/2009 - 22h33

Bonsoir tout le monde,

J'ai un problème avec cette question :

soient (Un) une suite de fonctions C infini à support compact dans ]0, 1[ et U dans Lp[0, 1]
tels que
Un tend vers U en norme Lp[0,1] .

Montrer que si Un/x converge vers v en norme Lp alors v = U/x....

je ne vois pas l'astuce....

Merci

KerLannais · 16/05/2009 - 22h50

Salut,

Si tu note
$V_n=\frac{U_n}{x}$
tu te ramène à montrer que si Vn tend vers V dans Lp alors Vnx=Un tend vers Vx=U dans Lp ce qui est plus simple à priori.

james_83 · 16/05/2009 - 23h02

Je dois vraiment etre mauvais... mais je n'y arrive toujours pas lol....
si tu peux m'en dire un peu plus ?

KerLannais · 17/05/2009 - 10h50

$||V_nx-Vx||_{L^p}\leq||V_n-V||_{L^p}$
puisque pour $x\in[0,1]$
$x^p\leq1$

j'espère que ça t'aide

james_83 · 19/05/2009 - 10h54

mais là on montre que si vn tend vers v alors xvn tend vers xv non ?
c'est la meme chose ?

KerLannais · 19/05/2009 - 14h58

Comme xVn=Un, la suite Un a donc deux limite en norme Lp à savoir U et xV, par unicité de la limite U=xV dans Lp et ensuite il n'est pas difficile de conclure que V=U/x et comme V est la limite des Vn=Un/x ca veut dire que les Un/x convergent vers U/x ce que tu voulais montrer.