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Rayon de courbure

  1. solene sarah

    Date d'inscription
    juin 2009
    Âge
    25
    Messages
    5

    Rayon de courbure

    Bonjour à tous

    Dans le cadre d'une étude du cercle osculateur en physique, nous recherchons s'il existe une formule du rayon de courbure pour une courbe dans un espace à 3 dimensions.

    Merci beaucoup
    Solène et Sarah


     


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  2. Ising

    Date d'inscription
    octobre 2008
    Âge
    33
    Messages
    300

    Re : Rayon de courbure

    Citation Envoyé par solene sarah Voir le message
    Bonjour à tous

    Dans le cadre d'une étude du cercle osculateur en physique, nous recherchons s'il existe une formule du rayon de courbure pour une courbe dans un espace à 3 dimensions.

    Merci beaucoup
    Solène et Sarah
    En réfléchissant 'physiquement', le rayon de courbure est donné par l'accélération normale de la particule, via la formule

    a = v^2 / R

    Donc, tu calcules la vitesse, puis l'accélération. Tu extrait les composantes normales et tangentielles de l'accélération. Finalement, tu prends la vitesse au carré, et tu la divise par la la norme de l'accélération normale, et tu trouves le rayon de courbure en n'importe quelle dimension (> 1, évidement).

    A+

    Ising



    Donc, si tu as une courbe \gamma(t),

    v^2 (t) = \gamma
     

  3. mariposa

    Date d'inscription
    février 2005
    Localisation
    Bretagne Côtes d'Armor
    Âge
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    Messages
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    Re : Rayon de courbure

    Citation Envoyé par Ising Voir le message
    En réfléchissant 'physiquement', le rayon de courbure est donné par l'accélération normale de la particule, via la formule

    Encore faudrait-il définir ce qu'est l'accélération normale. Ce que tu dis est valable pour un plan parce que le plan osculateur se confond avec le plan de la courbe. Le problème posé est relatif à une courbe dans un espace à 3 dimensions où il y a de la torsion.
     

  4. invité576543
    Invité

    Re : Rayon de courbure

    Tout est , non?

    Cordialement,
     

  5. Ising

    Date d'inscription
    octobre 2008
    Âge
    33
    Messages
    300

    Re : Rayon de courbure

    Citation Envoyé par mariposa Voir le message
    Encore faudrait-il définir ce qu'est l'accélération normale. Ce que tu dis est valable pour un plan parce que le plan osculateur se confond avec le plan de la courbe. Le problème posé est relatif à une courbe dans un espace à 3 dimensions où il y a de la torsion.
    En général, on définit l'accélération normale comme étant l'accélération moins l'accélération tangentielle. Bien évidement, en dimension 3, c'est un vecteur, et bien évidement, le cercle oscultateur va être dans le plan défini par le vecteur vitesse et le vecteur accélération normale. Mais tout ces points ne faisaient pas partie de la question posée, il me semble...

    A+

    Ising
     


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  6. mariposa

    Date d'inscription
    février 2005
    Localisation
    Bretagne Côtes d'Armor
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    66
    Messages
    10 334

    Re : Rayon de courbure

    Citation Envoyé par Ising Voir le message
    En général, on définit l'accélération normale comme étant l'accélération moins l'accélération tangentielle.
    A+

    Sauf que ton accélération normale est une direction indéterminée. Le plan normal est orthogonale à la tangente à la courbe.

    On parle dans l'énoncé du cercle osculateur (je dirais plan osculateur). pour trouver la courbure en un point il faut trouver justement le plan osculateur en ce point. Le vecteur de courbure c'est justement un vecteur qui appartient au plan normal mais situé dans le plan osculateur cad à l'intersection des 2 plans.
     

  7. Ising

    Date d'inscription
    octobre 2008
    Âge
    33
    Messages
    300

    Re : Rayon de courbure

    Citation Envoyé par mariposa Voir le message
    A+

    Sauf que ton accélération normale est une direction indéterminée. Le plan normal est orthogonale à la tangente à la courbe.
    Je ne comprends pas (et j'ai l'impression qu'on parle de la même chose, en fait). Pourquoi cette accélération normale est-elle indéterminée ? Si je définis, en n'importe quelle dimension:



    Si ce vecteur est nul, les choses sont évidement mal définies, mais dans ce cas, la trajectoire est une droite, et la courbure est infinie...

    Si ce vecteur est non-nul, il est orthogonal à la vitesse, et ces deux vecteurs définissent donc un plan qui est le plan oscultateur. Ensuite, de là, il est facile de trouver le rayon de courbure:



    Et le cercle oscultateur sera le cercle inscrit dans le plan oscultateur, de rayon , et centré en .

    Ising
     

  8. invité576543
    Invité

    Re : Rayon de courbure

    L'un parle d'un rayon de courbure scalaire, l'autre d'un vecteur de courbure. Pour s'entendre, il y a mieux.

    Cordialement,
     

  9. invité576543
    Invité

    Re : Rayon de courbure

    J'imagine que le vecteur de courbure c'est



    dont le module est 1/R et la direction perpendiculaire au plan osculateur? C'est ça?

    Cordialement,
     

  10. mariposa

    Date d'inscription
    février 2005
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    Bretagne Côtes d'Armor
    Âge
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    Re : Rayon de courbure

    Citation Envoyé par Ising Voir le message
    Je ne comprends pas (et j'ai l'impression qu'on parle de la même chose, en fait). Pourquoi cette accélération normale est-elle indéterminée ? Si je définis, en n'importe quelle dimension:
    OK, je suis d'accord. Il y avait un bug dans mes neurones.
     

  11. Ising

    Date d'inscription
    octobre 2008
    Âge
    33
    Messages
    300

    Re : Rayon de courbure

    Citation Envoyé par mariposa Voir le message
    OK, je suis d'accord. Il y avait un bug dans mes neurones.
    Idem. J'avais pas bien compris que tu parlais du vecteur de courbure. Alors, tout va pour le mieux

    A+

    Ising
     

  12. mariposa

    Date d'inscription
    février 2005
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    10 334

    Re : Rayon de courbure

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    J'imagine que le vecteur de courbure c'est



    dont le module est 1/R et la direction perpendiculaire au plan osculateur? C'est ça?

    Cordialement,
    Bonsoir,

    Ce vecteur tombe dans le plan normale.

    Le plan osculateur c'est celui formé par les vecteurs vitesse et accélération. Donc ton produit vectoriel définit la normale N au plan osculateur et cette normale N est elle même dans le plan normal (qui lui même est définit par sa normale T qui est le vecteur tangent cad la vitesse).

    Pour définir le vecteur de courbure situé dans le plan osculateur, il suffit de prendre la direction de la composante orthogonale (a la vitesse T) de l'accélération. Son module c'est 1/R
     

  13. solene sarah

    Date d'inscription
    juin 2009
    Âge
    25
    Messages
    5

    Re : Rayon de courbure

    Merci à tous, nous avons enfin résolu notre problème.
     


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