Dérivation dans W^(1,p)

[invitec1ddcf27]

Bonjour,

Considérant une application , je voudrais montrer que la dérivée de sa partie négative est donnée par



ou H est la fonction de Heaviside. Une idée ? Merci d'avance.
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[invitea41c27c1]

Essaie de montrer que .

Ou bien commence par montrer la formule pour continue.

Honnêtement, je sais pas si ça marche bien. Je ne suis pas très fort avec les distributions...

[KerLannais]

Salut,

Je pense que c'est effectivement par un procédé de régularisation qu'il faut travailler. Deux remarques sur ce que tu as dit Garnet:
1- la formule est fausse il suffit de l'appliquer avec pour s'en rendre compte
2- il faut faire attention au fait que toute fonction continue n'est pas forcément dans (par exemple "l'escalier de Cantor")

un conseil, si c'est pour montrer une propriété du genre principe du maximum que tu as besoin de cette formule, tu peux utiliser la méthode des troncatures de Stampacchia (comme c'est fait dans le livre d'analyse fonctionnelle de Brézis p143) cela évite de dériver la partie négative d'une fonction.

[invitec1ddcf27]

Salut,

merci de vos réponses. Cette formule a de jolies petites applications. Par exemple, dans l'équation



avec et , on peut montrer que si f est positive, alors u l'est aussi. En multipliant l'équation par et en utilisant la formule de Green sur la quantité



on obtient rapidement que ... Dans ce type de problème, lorsqu'on a la continuité de f, on peut esseyer de montrer que u est C^2, puis que u est positive en raisonnant par l'absurde. Mais, si f est seulement L^2, cette méthode marche bien !
Pour revenir à la question initiale, j'ai obtenu une indication pour une preuve "élémentaire". J'y reviendrai plus tard.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec1ddcf27]

ah oui, on sait les fonctions de sont hölderiennes, donc continues... mais je n'avais pas encore médité sur la réciproque.

KerLannais, je ne sais pas ce qu'est l'escalier de Cantor. Ca me ferait plaisir d'avoir quelques précisions. C'est quoi, et pourquoi c'est pas dans W^(1,p) ?

[invitec1ddcf27]

[a part que dans mon exemple, à la base et existait comme solution du problème



Bref, j'avais pas fait gaffe aux espaces ou vivent f et u... peu importe, ca change pas grand chose à l'idée du truc !]

[KerLannais]

Re,

"l'escalier de Cantor" est une fonction qui porte beaucoup de noms différents, personnellement je la connaissais sous la dénomination de fonction de Lebesgue, mais c'est sous le nom "escalier de Cantor" que je l'ai trouvé dans wikipédia:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Escalier_de_Cantor
en même temps c'est plutôt une bonne dénomination puisque l'ensemble sur lequel la fonction n'est pas constante (locallement constante on devrait dire parce que toute fonction est constante en chacun de ses points) est un ensemble de Cantor, et puis cette fonction est une sorte d'escalier. C'est une fractale, sa défintion est donc pas élémentaire et je renvoie à wikipédia pour la définition. C'est une fonction sur qui est continue croissante, qui va de 0 à 1 et qui est constante presque partout. Autrement dit elle ne varie que sur un ensemble négligeable pour la mesure de Lebesgue et pourtant elle arrive à aller de 0 à 1. C'est une fonction qui est presque partout dérivable de dérivée nulle, de sorte que si elle appartenait à sa dérivée devrait être nulle presque partout et la fonction elle même devrait être égale à une constante presque partout (ce qui est très différent de presque partout constante). Ce n'est bien sur pas le cas puisqu'elle prend des valeurs distinctes sur divers ensembles de mesure non nul. En fait sa dérivée au sens des distributions est une mesure de Radon qui n'est pas absolument continue par rapport à la mesure de lebesgue (cf théorème de Radon-Nikodym).