probléme de matrice de passage

[invitedad19d55]

Bonjours, voila j'ai un gros soucis avec les matrices de passages, je n'arrive jamais à la trouver. J'ai déjà cherché à droite à gauche divers cours sur ce sujet, mais je n'arrive toujours pas à la trouver...

Voici un exercice classique ou il est justement question de cela

Soit B=(e1 , e2 , e3) la base canonique de R3 , soit f :R3->R3, une endomorphisme de R3 défini par :
f ( x , y , z )=(−x+y+z ,−2x+y+z ,−6x+2y+4z)
1) Écrire A=Mat (f ,B)
2)Soit B'=(v1 , v2 , v3) ou v1=(1,0 ,2) , v2=(1,1 ,2) et v3=(2,1 ,5)
-> montrer que B' est une base de R3
-> Calculer A'=Mat ( f , B' )
3) Trouver une relation entre A et A'
->Vérifier que A = PA'P^-1


1)Alors pour faire vite, la matrice A s'écrie :

−1 1 1
−2 1 1
−6 2 4

2) Pour cette question, je n'ai pas de problème pour montre que B' est libre et la matrice s'écrie :

1 1 0
0 1 0
0 0 2

avec f(v1)=v1 , f(v2)=v1+v2 et f(v3)=2*v3

3)Voici la question qui me pose problème. Enfaite je suis sur que je cherche compliquer. pourtant je me doute bien que le lien est la matrice de passage et que je pense qu'elle doit s'écrire sous la forme P=Mat (Id , B', B).

On connait la base B' par ces composantes V1, V2 et V3 mais je ne voit pas comment écrire la base B (disons que c'est plutôt par automatisme que je sais comment répondre a la question 1)...

Curieusement, j'arrive a inverser une matrice (déterminant, matrice des cofacteur, la transposer puis la diviser par le déterminant), et donc la vérification devrait être rapide.

Pouvez vous m'aider ?
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[sylvainc2]

Si j'ai bien compris tu veux savoir comment écrire P matrice de passage de B' à B, et P^-1 passage de B à B' ?

Les colonnes de P sont simplement les composantes de V1,V2,V3 dans la base B:
1 1 2
0 1 1
2 2 5

Pour trouver P^-1, soit que tu calcules l'inverse, sois que tu le fais à la main, j'ai fais comme ceci:
v1=e1+2e3, v2 = e1+e2+2e3, v3=2e1+e2+5e3:

e1 = v1 - 2e3

e2 = v2 - e1 - 2e3
je remplace e1:
e2 = v2 - (v1 - 2e3) - 2e3 = v2 - v1

e3 = (v3 - 2e1 - e2)/5
remplacer e1:
e3 = v3 - 2v2 - e2
remplacer e2:
e3 = v2 - 2v2 - (v2 - v1) = v3 - v1 - v2

Finalement, terminer e1:
e1 = v1 - 2e3
remplacer e3:
e1 = v1 - 2(v3 - v1 - v2) = 3v1 + 2v2 - 2v3

Donc les vecteurs e1,e2,e3 s'écrivent dans la base (v1,v2,v3):
e1 = (3,2,-2)
e2 = (-1,1,0)
e3 = (-1,-1,1)
Ils vont dans les colonnes de P^-1.

[xelyx]

Il faut bien comprendre qu'une matrice de passage est la matrice de l'application identique de R3 dans R3.
Sauf que les bases sont differzntes au départ est à l'arrivée.
On connait l'expression des vecteurs de la base B' dans la base B. Donc , le plus simple est d'écrire d'abord la matrice de l'application identique de (R3,B') dans (R3,B). C'est ce que fait sylvainc2.

[invitedad19d55]

Oui effectivement, je cherchais trés compliqué pour P ^^

Pour le calcule de P^-1, j'ai fait la methode que j'ai l'habitude de faire et j'ai retrouver les méme resultats que sylvainc2

En tout cas merci pour toute vos informations ^^

[A voir en vidéo sur Futura]