Suites adjacentes

[g_h]

Hello

J'ai ptit un exo à faire, sur les suites, et je bloque totalement... :
J'ai 2 suites u et v. Pour montrer qu'elles sont adjacentes, je dois calculer la limite de leur différence en +oo : elle vaut 0, donc c'est bien parti.
Mais je dois prouver que l'une est crissante, et que l'autre est décroissante, et là je cale :

u :
u₀ = 12
u_n+1 = (3u_n+v_n)/4

v :
v₀ = 1
v_n+1 = (2u_n+v_n)/3

J'ai pensé qu'avec des suites "emmelées" comme ça je ne m'en sortirai pas. J'ai donc transformé leurs expressions, ça me donne des suites récurrentes du second ordre :

u :
u₀ = 12
u₁ = 37/4
u_n+2 = (13u_n+1-u_n)/12

v :
v₀ = 1
v₁ = 25/3
v_n+2 = (13v_n+1-v_n)/12

Mais tout compte fait, je ne suis pas plus avancé, car les suites récurrentes de ce type, je ne vois pas comment prouver quoi que ce soit !

Il se trouve que la suite z_n = u_n - v_n est une suite géométrique de raison 1/12, mais je ne vois pas non plus comment l'utiliser

Une idée ?

Merci !
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[martini_bird]

Salut,

sauf erreur, en exprimant u_n+1 en fonction de z_n et u_n, tu devrais récupérer la somme partielle d'une suite géométrique.

Cordialement.

[g_h]

Somme partielle ? Kézaco ?

Sinon, j'ai réussi (j'aurais mis le temps... !), suffisait de... faire le signe de la différence u_n+1-u_n, et on tombe sur une expression en fonction de z, dont on connait comme par hasard le signe (c'est peut-être ce que tu disais, mais j'ai mal compris)

Mais merci

[martini_bird]

Oui, c'était ça. En fait, je voulais dire somme partielle d'une série (et non suite) géométrique, à savoir quelque chose qui ressemble à ça:



A+

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