Construction de N par les axiomes de Peano

[Médiat]

A quoi correspond exactement une définition du deuxième ordre ?

A une quantification sur les sous-ensembles.

[Médiat]

A quoi correspond exactement une définition du deuxième ordre ?

Je complète ma réponse précédente par une question :
Quelle est la différence fondamentale (quelles sont les différences fondamentales) entre
Pour tout ensemble tel que
et alors

Pour toute formule :
et alors

Que ceux qui savent ne répondent pas, l'intérêt est de creuser les raisons des mauvaises (ou incomplètes) réponses .

[Seirios]

Quelle est la différence fondamentale (quelles sont les différences fondamentales) entre
Pour tout ensemble tel que
et alors

Pour toute formule :
et alors

C'est la différence entre l'axiome de réccurrence et le principe même ; déjà, l'on utilise pas les mêmes notions, puisque l'on utilise pour le premier la notion d'ensemble, et pour le second la notion de formule, mais l'un découle de l'autre. Ensuite, je ne sais pas quoi ajouter d'autre...

[Thorin]

Je complète ma réponse précédente par une question :
Quelle est la différence fondamentale (quelles sont les différences fondamentales) entre
Pour tout ensemble tel que
et alors

Pour toute formule :
et alors

Que ceux qui savent ne répondent pas, l'intérêt est de creuser les raisons des mauvaises (ou incomplètes) réponses .

ya des "quelque soi" dans l'un et pas dans l'autre ?

[Médiat]

utilise pour le premier la notion d'ensemble, et pour le second la notion de formule

C'est pas faux, mais en quoi est-ce fondamental ?

l'un découle de l'autre

Je ne suis pas sur de comprendre ce que tu veux dire (et au moins une interprétation me forcerait à dire que c'est faux ).

ya des "quelque soi" dans l'un et pas dans l'autre ?

Non, j'ai repris la définition telle qu'elle a été donnée par Phys2, mais j'aurais pu ajouter le quantificateur sur n, dans le premier énoncé, sans rien changer (ce que l'on appelle la généralisation).

J'en profite pour rectifier une faute de frappe : dans l'énoncé avec la formule, le premier quantificateur devrait porter sur n et non sur x.

[Seirios]

Je ne suis pas sur de comprendre ce que tu veux dire (et au moins une interprétation me forcerait à dire que c'est faux ).

Ici, le principe de récurrence se déduit de l'axiome.

C'est pas faux, mais en quoi est-ce fondamental ?

Si l'on déduit le principe de récurence de l'axiome de récurrence, et non l'inverse (ce dont je ne suis pas certain, mais a priori je ne vois pas comment l'on pourrait procéder), alors l'utilisation d'ensembles doit avoir une portée plus générale, plus fondamentale.

[Médiat]

Ici, le principe de récurrence se déduit de l'axiome.

C'est exact ; on peut noter que ce que tu appelles le principe de récurrence est en fait un schéma d'axiomes, ce qui sous-entend que l'on peut écrire tous les axiomes (au moins ceux dont on a besoin), alors qu'on ne peut faire de même pour les sous-ensembles.

Si l'on déduit le principe de récurence de l'axiome de récurrence, et non l'inverse (ce dont je ne suis pas certain, mais a priori je ne vois pas comment l'on pourrait procéder), alors l'utilisation d'ensembles doit avoir une portée plus générale, plus fondamentale.

Oui encore, mais on peut creuser un peu plus : même en ajoutant au langage une infinité de symboles de constantes (1 pour chaque entier), il n'est pas possible d'écrire un schéma d'axiomes qui soit équivalent à l'axiome du 2^nd ordre.

Une piste pour mieux comprendre :