Differentiation de la serie de Peano Baker et recurrence

[invite8eb08b4f]

Bonjour, je cherche a demontrer que, pour une matrice de transition phi donnee associee a une matrice A, alors, la derivee partielle de phi(t,tau) par rapport a tau, est egale a :

-phi(t,tau)*A(t)

Pour ca, il "suffit" de demontrer que la derivee partielle du i-eme terme de la serie de Peano Baker est egal au i-1 eme de cette meme serie multiplie par -A. Ceci signifie que dans le produit des integrales, je dois etre capable d'isoler la somme de tau a t de A(g)dg. (voir image pour plus de clarete, j'y rappelle la serie)

je tente de faire ceci par recurrence, mais je n'arrive pas a exprimer le terme de rang i+1 par rapport au terme de rang i, je cherche des indices la dessus. Merci si vous en avez une idee

Voici ce qui est fait:



Milan
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[edpiste]

Peux-tu rappeler ce qu'est une matrice de transition et pourquoi on s'intéresse à ce type de série ?

[invite8eb08b4f]

Peux-tu rappeler ce qu'est une matrice de transition et pourquoi on s'intéresse à ce type de série ?

La matrice de transition permet de caracteriser un systeme defini par une equation de type:

d(x(t))/dx= A(t)*x(t)

Ou x est un vecteur (ou vecteur d'etat).

La matrice de transition associee a A verifie:

phi(t,t0) est telle que x(t)=phi(t,t0)*x(t0)

Elle est de plus transitive car les solutions de l'equation donne plus haut sont unique pour x(t0) fixe, ce qui signifie qu'il n'y a qu'un seul chemin pour aller de t0 a t soit:

phit(t,t1)=phi(t,t0).phi(t0,t1 )

Enfin, sa derivee par rapport au temps est:

dphi(t,t0)/dt=A(t).phi(t,t0)

Dans le cas ou A est une constante, phi n'est rien d'autre que la matrice exponentielle de A*t.

La serie de Peano Baker en est simplement la definition mathematique, on s'interesse a ce genre de matrice car elle permet la modelisation simple de systemes physiques.

[edpiste]

dx(t)/dt= A(t)*x(t)

et

x(t)=phi(t,tau)*x(tau)

donc

d(phi(t,tau)*x(tau))/dt = A(t)*phi(t,tau)*x(tau)

donc

d(phi(t,tau))/dt = A(t)*phi(t,tau)

On dérive cette équation par rapport à tau. En posant

v(t)=dphi(t,tau)/d(tau), il vient

dv/dt = A(t)*v

De plus

phi(tau,tau)=Id

Donc, en dérivant par rapport à tau, il vient

dphi/dt(tau,tau)+v(tau,tau)=0

Donc v(tau,tau)=-dphi/dt(tau,tau)=-A(tau)*phi(tau,tau)=-A(tau).

Pour résumer, v(t)= dphi(t,tau)/d(tau) est solution de

dv/dt = A(t)*v
v(tau)=-A(tau)

Soit maintenant w(t)=-phi(t,tau)*A(t)
On vérifie que

dw/dt = A(t)*w
w(tau)=-A(tau)

Par unicité de la solution d'une équa dif linéaire, on conclut

v(t)=w(t) cqfd

[A voir en vidéo sur Futura]