groupe topologique

[invite769a1844]

Bonsoir,

j'ai un groupe topologique séparé, et un sous-groupe discret de .
Je veux montrer que est fermé.

J'ai séparé selon différents cas, et le cas où je bloque est lorsque et son complémentaire sont infinis et distincts de .
J'arrive à éliminer les autres cas en utilisant le fait que sous ces conditions les singletons de sont fermés.

Merci pour votre aide.
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[invite769a1844]

Finalement je pense avoir trouvé plus expéditif, sans distinction de cas.

Si , n'est pas un point d'accumulation de , car est discret.
Alors on a un moins un voisinage de qui ne contient qu'un nombre fini d'éléments de , on les enlève de ,
et comme les singletons de sont fermés, devient un voisinage ouvert de inclus dans .

[invitea41c27c1]

Alors on a un moins un voisinage de qui ne contient qu'un nombre fini d'éléments de [/TEX].

Explique ... (nul part tu utilises le fait qu'on a affaire a un groupe).
(Considère l'ensemble { 1/n | n dans N} et le point 0).

[invite769a1844]

oui effectivement, je suis allé un peu vite hier soir, merci Garnet.

Pour rafistoler ça je peux dire que si est un point d'accumulation de , c'est aussi le cas de l'élément neutre .
Pour le montrer je prends un voisinage de , par continuité de l'application ,
il existe un voisinage de tel que . Comme est un point d'accumulation de , il existe distincts.
Puis avec .

est dans et est discret, donc ça ne peut être un point d'accumulation de .

[A voir en vidéo sur Futura]