monotonie d'une fonction

[harry-potter]

salut les amis ,
je suis en train d'édudier la monotonie d'une fonction définie par une autre fonction
soit un réel positif ou nul .on note la fonction définie sur par :

.
1) Monter que la fonction est prolongeable en une fonction continue sur , de classe sur cet intervalle si .
La fonction prolongée sera toujours notée .


j'ai étudié cette première question suivant deux cas :
pour x=0 et pour x >0

je ne sais pas si vous avez d'autre méthodes.



de toute façon , passons au corps de ma question :
on définit une fonction de vers par :



on notera abusivement: ( je ne sais pas pourquoi il a remarqué cela ; ce n'est pas tout à fait naturel de remplacer par son expression ou bien ça demande cette remarque ?)



la fameuse question pour laquelle j'ai rédigé tout cela est alors :

2) Monter que la fonction est décroissante sur et que pour tout x appartenant à :



je me demande si j'avais bien m'exprimer.
merci d'avance.

[Guillaume69]

Bonsoir,

j'ai étudié cette première question suivant deux cas :

Je ne suis pas sûr de voir où tu veux en venir quand tu dis que tu étudies deux cas.
En effet, pour , la fonction est continue, il est donc superflu (et même faux) de dire qu'elle est prolongeable par continuité. Il faut juste dire qu'elle est continue (éventuellement le démontrer plus rigoureusement, selon ton niveau).

Par contre, il faut effectivement montrer que existe.

on notera abusivement[...]

Je ne trouve pas la notation abusive, puisque l'on a montré que est prolongeable par continuité en 0, donc que l'intégrale existe.


Pour donner le sens de variation d'une fonction on peut :
*étudier le signe de la dérivée : je ne connais pas ton niveau, mais je pense que tu ne sais pas dériver ce genre de fonctions (ni dire si elles sont dérivables).
*revenir à la définition : Soit tel quel x<x' F est croissante (resp. décroissante) ssi F(x)<F(x') (resp. F(x)> F(x'))

[harry-potter]

salut ;

Je ne suis pas sûr de voir où tu veux en venir quand tu dis que tu étudies deux cas.
En effet, pour , la fonction est continue, il est donc superflu (et même faux) de dire qu'elle est prolongeable par continuité. Il faut juste dire qu'elle est continue (éventuellement le démontrer plus rigoureusement, selon ton niveau).

Par contre, il faut effectivement montrer que existe.

Mais il faut étudier deux cas : ; sinon on tombe dans le ; puisque lorsque x=0 et t tend vers zéro ; sin(0)=0 et : une forme indéterminée

Je ne trouve pas la notation abusive, puisque l'on a montré que est prolongeable par continuité en 0, donc que l'intégrale existe.

effectivement , c'est vrai puisque la fonction est continue sur pour tout

Pour donner le sens de variation d'une fonction on peut :
*étudier le signe de la dérivée : je ne connais pas ton niveau, mais je pense que tu ne sais pas dériver ce genre de fonctions (ni dire si elles sont dérivables).
*revenir à la définition : Soit tel quel x<x' F est croissante (resp. décroissante) ssi F(x)<F(x') (resp. F(x)> F(x'))

je sais bien que la dérivée d'une fonction défini sur par :

avec et deux fonctions dérivabes sur
et inclus dans et inclus dans est :


et je veux bien savoir comment tu dériveras cette fonction ?

merci d'avance

[Guillaume69]

Bonsoir,

Et bien justement, je ne dérive pas (car je ne sais pas faire), mais j'utilise la définition de la décroissance d'une fonction.

Au fait : 0^0 = 1 par convention.

[Hamb]

Salut, pour la notation, elle est en effet abusive, car telle que tu l'as définie l'intégrale de (sint)^x sur [0,pi/2] n'existe pas, car cette fonction n'est pas définie en 0. par contre le prolongement par continuité lui est défini en 0, donc tu peux très bien définir son intégrale, et c'est la l'abus de notatino, tu écris dans l'intégrale la fonction (sint)^x alors qu'en fait c'est le prolongement que tu intègres.
Pour ce qui est de la décroissance, reviens à la définition comme te l'a suggéré guillaume car c'est difficile de dériver ce genre de fonction.