étape d'une démonstration de l'inégalité arithmético géométrique

[invitebf1c7122]

Bonjour, je n'arrive pas à résoudre la question suivante, pourriez vous m'aider? Merci d'avance.
On a prouvé précédemment que x^ty^1-t≤tx+(1-t)y. la question est: Soit x₁,...,x_n des réels strictement positifs et t₁,...,t_n des réels positifs tels que t₁+t₂+...+t_n=1. montrer l'inégalité : x₁^t₁...x_n^t_n ≤t₁x₁+...+t_nx_n.
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[KerLannais]

Il s'agit d'une simple récurrence

la propriété à montrer est:

: pour tous réels strictement positifs , pour tout réels positifs on a


tu as la démonstration que est vraie, il suffit que tu montre que dès que est vraie, est vraie.

Comme c'est facile je n'ose pas te donner la réponse, mais au cas où tu ne trouverais pas je te la mets quand même en caché. Comme ça tu peux ne pas regarder la solution.

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Soit , on suppose que est vraie. Soient des réels strictement positifs, des réels positifs, on a:

Je pose

ce sont des réels strictement positifs.
Je pose
c'est un réel positif et par hypothèse sur les on a . Avec ces notations on a d'après :


je note
pour compris entre et . Ce sont des réels positifs qui vérifient .
Ainsi on a d'après :

Finalement

d'où . Donc par réccurence, est vraie pour tout .