dual et bidual

[gdm]

Salut,
pour les cours de rattrapage on a vu la notion de dual et bidual!
j'ai relu le cours mais je n'y comprends pas grand chose!
en fait je suis d'accord avec les définitions mais je ne sais pas a quoi cela correspond.
peut on me donner qql explications sur ces 2 notions?
de plus, on a vu qu'il existait un isomorphisme entre le dual et son bidual. qqn aurait les grosses lignes de l'explications?
merci d'avance et bonne journée

[thepasboss]

Bonjour,

Et bien non désolé je ne me rappelle plus de la démonstration, mais il me semble que ce n'est vrai qu'en dimension finie, et que dans le cas infinie tu n'as qu'un morphisme injectif, mais à vérifier, je ne suis plus très sur.

[gdm]

oui merci pour la précision, c'es tassez important
qqn d'autre sinon?

[taladris]

Salut,

je note E l'espace et son E** son bidual. Considère l'application qui a un élément v de E associe l'appication !) définie sur E* par .

Tu peux vérifier que:
1) est une forme linéaire sur E*
2) est une application linéaire de E dans E**
3) est injective

Par ailleurs, si E est de dimension finie, alors il en est de même de E* et de E** et surtout dim(E)=dim(E*)=dim(E**). Par conséquent, est un isomorphisme.

Au passage, si E est de dimension fini, E, E* et E** sont isomorphismes (car ils ont la même dimension). On identifie généralement E à son bidual E** (et non à son dual) car l'isomorphisme précédent () est canonique.

Cordialement

[gdm]

merci, le prof nous a parlé de cela et dans sa maniere de dire , ce que tu as énoncé na parait pas important
Sinon l'application que tu définie est une composée (au vu de ta notation)?
et par contre je ne comprends pas la derniere phrase!
en fait je vois pas la différence entre isomorphisme canonique et isomorphisme

et autre chose il a parlé de la base: quand si on change 1 vecteur de la base , toutes les coordonnées sont changées.La 1ere coord depend de tous les vecteurs de la base (il me semble que c'est pour le dual sa, donc la base du dual c cela?)
merci

[taladris]

Sinon l'application que tu définie est une composée (au vu de ta notation)?

Non. n'est pas composée. associe au vecteur v un élément du bidual E**, c'est-à-dire une application de E* dans K (le corps de base de l'espace E). Pour pouvoir définir correctement, il faut que je dise quelles sont les valeurs prises par cette application, à savoir avec un élément de E*.

et par contre je ne comprends pas la derniere phrase!
en fait je vois pas la différence entre isomorphisme canonique et isomorphisme

isomorphisme canonique=isomorphisme dont la définition ne dépend pas du choix d'une base.
En général, entre deux espaces de même dimension finie, il existe toujours un isomorphisme mais un tel isomorphisme peut dépendre d'un choix (de bases des 2 ev en question par exemple).
Un isomorphisme canonique est en quelque sorte "plus joli" ou "plus naturel".

et autre chose il a parlé de la base: quand si on change 1 vecteur de la base , toutes les coordonnées sont changées.La 1ere coord depend de tous les vecteurs de la base (il me semble que c'est pour le dual sa, donc la base du dual c cela?)
merci

Je ne suis pas sûr d'avoir compris la question. Bien sûr que si on change de base, les coordonnées d'un vecteur sont en général changées.

Cordialement

[taladris]

*** édité ***

[gdm]

je me trompe peut etre, mais il me semble avoir entendu un truc du genre : si on change un vecteur de la base du dual, (ou autre) non pas 1 mais toutes les coordonnée changent!... enfin je ne sais plus trop c'est peut etre lorsque'on revient a E (chgt de base?) bref je vais bien regarder mon cours pour completer tout sa et éclaircir!
merci

[Forhaia]

Bonsoir,

tu veux peut être dire que si on prend une base B de E et qu'on lui associe sa base duale, si on change un vecteur de B alors tous les vecteurs de la base duale changent.

[gdm]

merci de m'avoir traduit! Si cela est bine vrai c'est bine ce que je voulais dire !
et donc ma question c'était Pourquoi?
merci

[pat7111]

Si ca peut aider, une maniere "concrete" de voir les histoires de dualite est de penser aux produits scalaires (perso, c'est vraiment ca qui m'a ouvert les yeux sur la question meme dans des situations plus complexes).

Dans R^3, le produit scalaire sur un vecteur est evidemment une forme lineaire. Je l'appelle .

Si j'appelle le produit scalaire avec , on a et . Donc la base duale associee a la base est (
On verifie facilement que s'ecrit dans la base duale .

Reciproquement, soit une forme lineaire sur R^3. Par linearite,




Donc \phi peut etre vue comme un produit scalaire

[gdm]

merci pour l'analogie au PS