théorie de la mesure

[christophe_de_Berlin]

Bonjour,

J´ai deux questions différentes concernant des détails de la théorie de la mesure:

1- Je lis dans la définition d´un espace -fini que l´espace (,M,) est un espace mesuré complet.
Je sais ce qu´est un espace mesuré, je sais aussi ce qu´est und espace topologique complet, mais bon Dieu, c´est quoi un espace mesuré complet?

2- Je lis le théorème suivant:

Soit (f_n) und suite de fonctions mesurables de dans IR₊, alors sup_nf_n et inf_nf_n sont des fonctions mesurables.

Ce n´est pas le théorème lui-même qui me pose problème. Mais je me demande ce qu´est sup_nf_n. À mon avis cela ne peut être que la fonction qui à chaque x associe sup_n(f_nx))
Mais alors, sup_nf_n n´est pas forcément un élément de la suite (f_n), non?
Pareil pour inf_nf_n évidement.

Merci d´avance pour ces précisions.

Christophe
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[KerLannais]

Bonjour,

Sur les mesures complètes et les espaces mesurés complets il y a un tout petit article de wikipédia, qui n'est pas complet mais qui dit l'essentiel, la preuve qui est donnée est une ébauche de preuve mais c'est un bon exercice de faire une vraie preuve.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Mesure_complète

Sinon, tu as la bonne définition pour et oui ce n'est pas forcément un élément de la suite (pourquoi ça devrait l'être) tout comme la limite d'une suite n'est pas forcément un élément de la suite. Il n'y a pas forcément d'élément de la suite qui soit proche du sup en norme infini si c'est ce que tu veux dire (sauf si la suite est croissante).

[invite986312212]

cela dit, je ne vois pas pourquoi on impose le caractère complet dans la définition d'une mesure sigma-finie. Il me semble que ce n'est pas dans la définition usuelle.

[christophe_de_Berlin]

OK Ambrosio, je dois alors préciser que mon texte commence par: "On suppose par la suite que (, M, ) est un espace mesuré complet.
J´en ai conclu un peu trop vite que cela fait partie de la définition de l´espace sigma-fini.

Sinon merci bien pour vos réponses.

Christophe

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