Convergence et limite de la somme d'une somme [séries]

invite3acfbda2 · 14/10/2009, 12h50

Bonjour, j'ai un petit problème pour prouver une convergence et trouver la limite d'une série qui est la somme d'une somme...

On a : $\text{[math]}$

Et je voudrais montrer que la série $\text{[math]}$ converge et trouver sa limite ...

Montrer que Un converge c'est simple, mais par contre montrer que sa somme converge ...

Bref je suis complètement perdu, si quelqu'un pouvait me filer un petit coup de main ce serait super sympa

Merci d'avance

a+

**Jeanpaul** · 14/10/2009, 14h20

T'es sûr que ça converge ?
Quand on écrit la somme, on voit plutôt venir une série dont le terme général ressemble à (-1)^k.racine(k)

invite3acfbda2 · 14/10/2009, 14h28

Pour Un c'est sur vu que c'est une serie alternée, et que 1/racine(k) est une fonction continue décroissante.
Après pour la série somme de Un ben en principe c'est censé converger puisqu'il m'est demandé de trouver sa limite après avoir montré que la série est convergente.

**breukin** · 14/10/2009, 14h51

$\text{[math]}$
pour $\text{[math]}$ à mon avis, et de manière certaine pour $\text{[math]}$ .
Si la série est convergente, sa somme risque d'être $\text{[math]}$ en prolongeant analytiquement la formule.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**breukin** · 14/10/2009, 15h05

Par ailleurs $\text{[math]}$ avec :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ est donc alternée si on arrive à montrer la décroissance de $\text{[math]}$ qui est bien positive.

**Jeanpaul** · 14/10/2009, 16h26

Envoyé par breukin

$\text{[math]}$
pour $\text{[math]}$ à mon avis, et de manière certaine pour $\text{[math]}$ .
Si la série est convergente, sa somme risque d'être $\text{[math]}$ en prolongeant analytiquement la formule.

Pige pas un truc, là : comme s=1/2, on a une série dont le terme général ne tend pas vers zéro, ça ne peut converger, non ?

invite3acfbda2 · 14/10/2009, 16h45

breukin : Je n'ai pas vraiment compris ta méthode ...

Par contre j'ai décomposé la suite et je crois pouvoir résoudre le problème de la convergence, mais pour cela il faudrait que je puisse remplacer le terme suivant par une intégrale simple :
$\text{[math]}$

Vous voyez comment faire ? je ne parviens pas à trouver cette intégrale

invite3acfbda2 · 14/10/2009, 17h36

Peut être devrais-je poser cette question dans un nouveau sujet ? Pour optimiser le nombre de visite.

**God's Breath** · 14/10/2009, 17h57

Par le critère spécial pour les séries alternées $\text{[math]}$ a le signe du premier terme de la série, donc de $\text{[math]}$ .

Par suite $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ est la somme d'une série alternée.
Comme on est toujours dans le cadre du critère spécial, $\text{[math]}$ a le signe du premier terme de la série : $\text{[math]}$ et la série $\text{[math]}$ est alternée convergente.

**breukin** · 14/10/2009, 18h32

Pour la valeur, c'est un pari : puisque dans un demi-plan complexe, la série est absolument convergente vers une fonction que l'on sait déterminer par sommation explicite et dont on connaît un prolongement analytique, alors dans les zones où la série est convergente mais où le calcul de sommation explicite passe par une étape illicite, la somme devrait toutefois être égale à la valeur obtenue par le prolongement analytique.

**breukin** · 14/10/2009, 19h39

Pour $\text{[math]}$ on a :
$\text{[math]}$
Donc pour $\text{[math]}$ on a:
$\text{[math]}$

**breukin** · 14/10/2009, 19h56

Donc pour $\text{[math]}$ on a:
$\text{[math]}$

**breukin** · 14/10/2009, 22h29

J'ai fait une erreur :
$\text{[math]}$

Et j'ai trouvé sur http://functions.wolfram.com/ZetaFun...Zeta/07/01/01/ que pour $\text{[math]}$ :
$\text{[math]}$ (formule 8).

Donc pour $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$

Comme j'avais dit plus brutalement...

**breukin** · 14/10/2009, 22h41

Pour $\text{[math]}$ , on a donc $\text{[math]}$ en utilisant l'équation fonctionnelle de $\text{[math]}$ .

**breukin** · 15/10/2009, 16h40

On va terminer la démonstration. On a pour $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$

Donc pour $\text{[math]}$ , en intégrant par parties :

$\text{[math]}$
L'intégrale étant convergente pour $\text{[math]}$ , la formule reste vraie par prolongement analytique et on a bien :
$\text{[math]}$

CQFD.

PS. La valeur de la somme de la série $\text{[math]}$ est-elle vraiment demandée dans l'exercice ?

**Armen92** · 15/10/2009, 16h56

Envoyé par breukin

$\text{[math]}$
pour $\text{[math]}$ à mon avis, et de manière certaine pour $\text{[math]}$ .
Si la série est convergente, sa somme risque d'être $\text{[math]}$ en prolongeant analytiquement la formule.

Le théorème du prolongement analytique est visiblement applicable puisque la série et $\text{[math]}$ coïncident pour $\text{[math]}$ et que $\text{[math]}$ est définie et holomorphe partout dans $\text{[math]}$ sauf en $\text{[math]}$ .

invite3acfbda2 · 15/10/2009, 21h55

Non la valeur de la somme n'est pas demandée, c'est la convergence qui est demandée, puis une majoration de la limite. Donc c'est tout de même vachement plus simple que de trouver la limite ^^ (avec la majoration du reste ça se fait).
Je n'ai pas encore bien regardé ta démonstration, en tout cas merci pour le coup de main ^^ maintenant, il ne me reste plus qu'à bien comprendre ta démarche.

**breukin** · 16/10/2009, 09h17

Concernant l'application directe du prolongement analytique, il faut au préalable démontrer que l'expression :
$\text{[math]}$
définit bien une fonction analytique sur $\text{[math]}$ , bref que cette série y est convergente.
Alors le constat que :
$\text{[math]}$
sur $\text{[math]}$ permet d'en déduire que cela reste vrai pour $\text{[math]}$ .
Il faut donc justifier la convergence de la série, ce qui était très facile avec $\text{[math]}$ réel (série alternée), et sans doute relativement facile mais à justifier quand même avec $\text{[math]}$ .

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