f(x) = x! (factorielle et fonction gamma)

[Bleyblue]

Bonjour,

Dites je me demande : Est ce que cela a un sens de définir la fonction f(x) = x! ?
A mon avis oui, et je pense qu'elle pourrait être intéressante à étudier mais l'ennui c'est que cette fonction n'est définie que si x est un entier naturel donc c'est embêtant (non dérivable, non intégrable ) ...

Se pourrait il qu'il existe un moyen de définir x! pour tout réel ?
Si oui alors ce serait formidable, on pourrait de même définire :

f(x) =
Et voir un peu comment elle se comporte, etc ...

Je dis des bêtises ?

Merci

[invitef591ed4b]

Mmm tu pourrais peut-être utiliser les fonctions plancher et plafond :

f(x) = [x] !

où les [ ] sont le plancher ou le plafond. L'avantage éventuel est que ta fonction devient intégrable (et dérivable par morceaux), mais bon ...

Ha oui, et elle est du coup définie sur tout lR, mais bon ...

[invitec314d025]

Salut.
Tu peux aller voir ici:
http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html
Ca généralise même aux complexes.
Bonne lecture et bon courage.

[Bleyblue]

Ah oui mais celle là je la connais.
Ce qui m'attire chez x! c'est qu'elle croît très vite, plus vite que l'exponentielle encore ...

EDIT: Croisement avec matthias, ok je vais voir, merci

merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

Ah attend, je n'ai pas bien lu ton message Sephi, j'avais lu [x] et non pas [x] !

Oui, ça ça serait bien
Je vais essayer de voir, merci bien !

[inviteab2b41c6]

L'ennui c'est que l'on a plus f(x+1)=(x+1)f(x) tandis qu'avec gamma on l'a encore... et surtout on a la dérivabilité.

[Bleyblue]

C'est vrai que ça restera une fonction en escalier malgré le "!"...
Mince, je ne sais pas comment faire pour représenter de telles fonctions avec ma TI 84 ...

Je peux poser quelques petites questions à ce propos ici ? Ou alors je dois changer de forum ?

merci

[inviteb7bf29c9]

Bonjour à tous,

On peut prolonger la fonction factorielle à R+: C'est la fonction Gamma:

Gamma(x) = intégrale de 0 à l'infini de t^(x-)exp(-t)

On a gamma (x+1) = x.gamma(x), et gamma (n+1) = n! si n est un entier positif.

[Bleyblue]

Oui. Malheureusement pour l'étudiée ça nécessite la connaissances des séries et des suites apparament, je ne connais pas ça encore mais ça va venir ...

Il va faloir que j'apprenne, ça devient urgent ...

merci

[inviteab2b41c6]

Bein ici c'est surtout l'étude des intégrales paramétrées qui compte

[Bleyblue]

Ahhh, on paramètre des intégrales maintenant ?
Décidément, une mise à niveau en analyse s'impose, une fois que j'en aurais finis avec les probas. ...

merci

[inviteab2b41c6]

On appelle une intégrale paramétrée une intégrale de la forme:

Intégrale sur R de f(x,t)dx.

Comme on le voit, cette intégrale est une fonction qui dépend de t, x étant une "variable muette, qui travaille sous le signe somme".

Gamma en est un bon exemple.
Certains opérateurs, tels celui de Laplace en est un également:
L(f)=F(s)=intégrale de f(x)exp(-sx)dx sur R+.
Sauf qu'ici c'est plus compliqué, la vrai variable ici est f.

[invitea1a31709]

Ah oui mais celle là je la connais.
Ce qui m'attire chez x! c'est qu'elle croît très vite, plus vite que l'exponentielle encore ...

EDIT: Croisement avec matthias, ok je vais voir, merci

merci

bonjour merci quand meme ! mais non x! ne croit pas plus vite que l'exponantielle au voisinaje de l'infini ! l'expo l'enportera toujour sur l'algebric au voisinaje de l'infini.cé grosse ereurs merci qud meme bye

[invitec314d025]

merci d'avoir pris ta plus belle plume pour dire çà ....

[invite9c9b9968]

bonjour merci quand meme ! mais non x! ne croit pas plus vite que l'exponantielle au voisinaje de l'infini ! l'expo l'enportera toujour sur l'algebric au voisinaje de l'infini.cé grosse ereurs merci qud meme bye

Si, la factorielle est bien la fonction sur les entiers qui croît le plus vite. Pour s'en convaincre il suffit d'utiliser la formule de Stirling (cf rubrique Révisions), qui te donne ~ , je te laisse conclure.

@+

Julien

[invitec314d025]

Si, la factorielle est bien la fonction sur les entiers qui croît le plus vite.

Elle croit plus vite que l'exponentielle d'accord, mais on peut facilement en trouver qui croissent plus vite.

[invite9c9b9968]

Elle croit plus vite que l'exponentielle d'accord, mais on peut facilement en trouver qui croissent plus vite.

Oui c'est vrai, ce que j'ai écrit est incorrect. La preuve : la fonction par exemple.

En fait, il n'y a pas de fonction qui croît plus vite que n'importe quelle autre fonction, non ?

[invitec314d025]

En fait, il n'y a pas de fonction qui croît plus vite que n'importe quelle autre fonction, non ?

non effectivement, il suffirait de la multiplier par une fonction qui tend vers +infini pour en trouver une qui croit plus vite.

[Bleyblue]

Oui, ce que je voulais dire c'est que X! croit plus vite que

[invitefb0ffdce]

salut! Et a^x = exp(xlog(a)) = [exp(x)]^log(a) pour a>0 => pareil !