Quelques questions sur les structures algébriques usuelles

[Krolah]

Bonsoir, je viens de voir les structures algébriques de base et j'ai un peu de mal avec certaines notions...
Un peu d'aide ne serait donc pas de refus !

Voici donc quelques questions assez simples à peu près toutes tournant autour du même thème ( pas de lien particulier entre elles ) :

1) Comment savoir si une loi doit être notée additivement ou multiplicativement ? Par exemple la composition est notée multiplicativement je crois, mais je ne vois pas trop pourquoi

2) Lorsque l'on dit qu'un sous-groupe est stable par produit, qu'entend-on par produit ? On parle du produit en tant que multiplication ou il s'agit d'une loi notée multiplicativement ?

3) J'ai lu que si on a un morphisme de groupe de G dans G', f(G) est l'image de f. Que signifie l'image d'une application, pourquoi ne parle-t-on pas plutôt de l'image de G par f, et quel est la différence entre les deux ?

4) Peut-il exister plusieurs morphismes de (E,*) dans (E',*') ? Exemples si oui

5) Est-ce que (G,*)x(G',*) est un groupe ? Et s'ils ont des lois de composition interne différentes ?

6) J'ai lu que (F(R,R),+,o) ( lire lensemble des applications de R dans R et la loi de composition^^), n'est pas un anneau puisque o n'est pa distributive, mais l'ensemble des endomorphismes de groupe de (G,+) où G est abélien, muni de l'addition et de la composition est un anneau. Cependant, je bloque dans les démonstrations pour ces deux cas au niveau de la distributivité. Quelqu'un pourrait-il me faire cette partie ?

Questions HS: qu'est ce qu'un intervalle [a,b] où a>b ? Et existe-t-il une définition pour une fonction parallèle à cette défnition de l'application : "pour tout x appartenant a l'ensemble de départ, il existe un unique y appartenant à l'ensemble d'arrivée tel que y=f(x)" ?

Ces questions ne sont pas très pertinentes mais ca m'aidera à y voir beaucoup plus clair.
Merci d'avance pour toutes vos réponses!
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[invite986312212]

1) on réserve la notation additive aux lois commutatives
2) c'est la même chose
3) c'est la même chose: dans un groupe si on ne précise rien il n'y a qu'une loi
4) oui par exemple est un morphisme pour tout n.
5) oui (montre le!)
6) (R,+) est un groupe abélien donc ce que tu demandes est contradictoire (?)

[Krolah]

Rapide=)
Alors :
1) C'est la seule différence ? alors la multiplication peut-être considérée comme une loi additive ?

2) Je précise ma question : l'ensemble des applications de R dans R muni de l'addition est un groupe si je ne me trompe pas. Si j'ai H une partie de G, et que je cherche à savoir si elle est stable par le produit, je fais quoi comme opération exactement ? La multiplication ? Pourquoi pas la composition ?

3) Ok

4) Ok mais je ne comprends pas l'application que tu as mis en exemple=(

5) Oui pour les deux parties de la questions ? parce que si c est la meme loi je vois à peu près mais si ca marche avec deux lois différentes je vois pas quoi prendre pour la démonstration...

6) Je ne comprends pas ce qui est contradictoire=s

En tout cas merci pour tes réponses !

[invite4ef352d8]

Salut !

6) non il y a rien de contradictoire :

F(R,R) n'est pas un anneau : prend n'importe qu'elle fonction f non linéaire, et tu n'aura pas la distributivité f(g(x)+h(x)) = f(g(x)) +f(h(x))

mais si G est un groupe, et que tu prend E=l'ensemble des morphisme de G dans G, alors c'est bien un anneau :

si (f+g)°h=f°h+g°h est toujour vrai et dans l'autre sens on a :

h(f(x)+g(x))= h(f(x)) +h(g(x)) car h est un morphisme d'ou h°(f+g)=h°f+h°g.

[A voir en vidéo sur Futura]

[chr57]

Salut,

alors pour la question HS:

[a;b], si a>b, se note plus généralement, [b;a] (il n'y a rien de mystérieux...).

Et pour la definition d'une fonction: j'ai appris cette année, que c'est la même définition qu'une application, à la difference près que l'image (ton y) est dans R.

Chr57.

[Krolah]

Ok j'ai compris la 3, la 5 ( on prend GxG' et la loi produit si je ne me trompe pas ) et la 6.

J'ai cependant toujours quelques soucis avec la 1, la 2 et la 4... Quelqu'un pourrait-il les les détailler ?

Sinon pour chr 57 : ok mais à ce moment pourquoi voit-on aussi souvent que dans [a,b], a<b si [a,b]=[b,a] ?

[invite986312212]

pour 1) dis-toi que la notion de "loi additive" n'existe pas. Il s'agit de simples notations. La notation multiplicative est la plus générale, et par convention on réserve la notation additive aux lois commutatives (mais rien n'interdit de noter multiplicativement la loi d'un groupe abélien). J'ai appris les maths à la grande époque des "maths modernes" et la loi d'un groupe était notée T ( aTb se disait " a truc b"... si si!)

pour 2) un sous-groupe est d'abord une partie d'un groupe stable pour la loi du groupe (donc le produit si on l'appelle produit). Il doit de plus contenir le neutre (ça disqualifie l'ensemble vide, qui est stable) et l'inverse de chacun de ses éléments.

pour 4) tu demandes s'il peut exister plusieurs homomorphismes entre deux groupes. Si les deux groupes sont égaux, tu en as déjà deux: l'application "nulle" (si la loi est notée additivement, voir plus haut) et l'application identique. Elles ne diffèrent que si le groupe n'est pas réduit à un élément bien sûr.

[Krolah]

D'accord, merci pour ces explications très claires. J'ai bien compris ce qui concerne les morphismes de groupe et la détermination de sous-groupes ( je ne voyais pas trop quoi entendre par produit ). Pour les notations additives et multiplicatives, il s'agit visiblement surtout d'une question de notation, avec un peu de pratique ca devrait aller mieux même si c'est déjà beaucoup plus clair maintenant.
Bon week-end

[Médiat]

Pour les notations additives et multiplicatives, il s'agit visiblement surtout d'une question de notation

C'est uniquement une question de notation, la structure ({0}, x} ou la multiplication est définie par :
0 x 0 = 0, ce qui ne choque pas les habitudes, est un groupe dont l'élément neutre est 0 (ce qui est moins habituel )

[Krolah]

Ok d'accord, merci pour cette précision.
J'profite de ce post pour poser une toute dernière question (du moins j'espère) :
soient (A,+,x) et (B,+',x') deux anneaux et f un morphisme d'anneaux de A dans B, alors f est aussi un morphisme de groupes de (A,+) dans (B,+'), mais en est-ce aussi un de (A,x) dans (B,x') ? Je pense que oui mais le livre qui me sert de cours ne relate que le premier cas et je me demandais si j'avais tort où s'ils avaient juste pas envie de le mettre.

[philou21]

...( aTb se disait " a truc b"... si si!)...

Oh là là ! tu viens de me donner un coup de blues là...

[Médiat]

Ok d'accord, merci pour cette précision.
J'profite de ce post pour poser une toute dernière question (du moins j'espère) :
soient (A,+,x) et (B,+',x') deux anneaux et f un morphisme d'anneaux de A dans B, alors f est aussi un morphisme de groupes de (A,+) dans (B,+'), mais en est-ce aussi un de (A,x) dans (B,x') ? Je pense que oui mais le livre qui me sert de cours ne relate que le premier cas et je me demandais si j'avais tort où s'ils avaient juste pas envie de le mettre.

Je suis très content (par perversité) de constater que l'usage d'un mauvais vocabulaire est une grande source de confusion ; je précise que vous n'y êtes pour rien dans l'usage de ce mauvais vocabulaire, il est malheureusement d'usage courant ; vous dites morphisme d'anneaux, morphisme de groupes et vous n'avez pas de nom pour le troisième type, alors que l'usage du bon vocabulaire dans le premier cas aurait consisté à parler de morphisme pour le langage (+, x), et il va de soi qu'un morphisme pour un langage est un morphisme pour tout sous-ensemble de ce langage (puisque la définition fait intervenir chaque élément du langage séparément).

Donc pour répondre plus clairement à votre question :
S'il existe un morphisme du langage des anneaux de (A,+,x) vers (B,+',x'), alors forcément ce morphisme est un morphisme du langage des groupes entre (A,+) et (B,+'), ainsi qu'un morphisme du langage des groupes entre (A, x) et (B,x'), même si (A,x) n'est pas un groupe, puisque c'est le langage qui compte.

[Krolah]

Merci, mais le livre que j'utilise ( J'intègre de Deschamps pour MPSI et PCSI ) ne parle pas de langage, en tout cas pas où j'en suis, et j'ai du mal à en trouver une définition sur internet...
Pourriez-vous m'éclaircir à ce sujet ou m'indiquer un lien ?

Merci