Hypothèse folle sur 0 et 1

[invite6b1a864b]

Voilà.. je me suis rendu compte qu'en informatique, quand on crée des tableau, on index le premier élément par le chiffre 0 au lieu de 1, pour de nombreuse raison c'est plus pratique :
notamment, dés qu'on passe à deux dimensions, un élément du tableau est indexé par (x+(y*largeur)) et donc l'élément (0,0) et bien le premier élément du tableau 0.

Voilà mon idée : Et si on s'était trompé à l'origine dans la définition de la multiplication ? Et si, l'index naturelle de l'unité n'était pas 1 mais "0", c'est à dire l'absence de déplacement en terme d'addition ?



Je m'explique car ça peut paraitre paradoxale :

l'addition resterait définit de la même façon : 0 est l'élément neutre

mais la multiplication changerait radicalement :
la nouvelle multiplication (notons là **) deviendrait

x**y = ((x+1)*(y+1))-1


(il s'agit simplement de décaler)

L'élément neutre de la multiplication devient 0 .

x**1 = x+x

x**0 = x

x**-1= -1


On aurait une loi :

(x**y)+(x**z)=

((x+1)*(y+1))-1 + ((x+1)*(z+1))-1=
(x*y+x+y+1)-1 + (x*z+x+z+1)-1 =
x*y+x*z+ x+y + x+z =
x*y+x*z+ 2*x+y +z =

x*y+x*z+x+y+z + x=
x*(y+z+1)+(y+z+1)-1 +x =
((x+1)*(y+z+1))-1 +x=

= x**(y+z) + x

(l'intêret serait que l'opération conserve le nombre de symbole, et qu'on puisse faire glisser les facteurs d'un termes à l'autre .


Une autre loi :

x**(y-y)= x

x**(y-y) +x =x**y + x**y = (x**y) ** 1


Lois qui s'utiliseraient donc différemment.

Certe, ça n'a pas un intêret crucial, mais ça peut faire des trucs intéressant non ? Si un jour on rencontre des E.T. avec ces prinicipes..















est ce que ça ne pourrait pas simplifier certaines choses ?
-----

[invite6b1a864b]

Je suis aller un peu plus loin : Il y a pas mal de symétrie interessante qui apparaissent :
http://linatendu.free.fr/public/maths/mathdecal.html

[taladris]

Salut,

on pourrait inventer une nouvelle "multiplication" en suivant ton idée et en étudier les propriétés. Peut-être que cela donnerait des choses intéressantes. On le fait d'ailleurs souvent: sais-tu ce qu'est un groupe ou un anneau?

Dans le cas particulier de ton opération, je crois (pas le temps de vérifier) qu'elle n'aura pas suffisamment de propriétés pour "concurrencer" la multiplication usuelle. Par exemple, (R,+,**) n'est pas un anneau (car + et ** ont le même neutre 0 donc (R,+,**) serait l'anneau trivial {0} si c'était un anneau).

Alternativement, si f est une bijection de R dans R, on peut définir une nouvelle addition ++ et une nouvelle multiplication ** en posant:
a++b=f^(-1)(f(a)+f(b)) et a**b=f^(-1)(f(a)f(b))
(Dans ton exemple, f(x)=x+1)
Mais dans ce cas, on change aussi l'addition, et surtout (R,++,**) est isomorphe à (R,+,*) donc il n'y a pas beaucoup d'intérêt à changer de définition.

Cordialement

[ericcc]

Un autre problème avec cette nouvelle multiplication est qu'elle n'est pas distributive par rapport à l'addition. Cela va rendre les calculs compliqués !

Mais tous les éléments sauf -1 ont un inverse, c'est déjà un début. Par contre les carrés ne sont pas tous positifs et la racine carré de -1 est -1 !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invité576543]

Et si on s'était trompé à l'origine dans la définition de la multiplication ?

On s'est bien trompé quelque part, mais pas là.

L'indexation naturelle d'un tableau c'est par (premier, deuxième, troisième, quatrième, ...).

Ce sont des ordinaux.

Et nombre de personnes considèrent naturel de représenter l'ordinal "premier" par le cardinal "1".

Les maths disent autre chose. La relation naturelle entre ordinaux et cardinaux est d'associer le cardinal "0" à l'ordinal "premier". (Exemple, tous deux sont ceux sans prédécesseur.)

Le "bug" apparaît à divers endroits, comme le calendrier (quelle est l'année qui précède l'année 1? Quelle est la première année du XXIème siècle (et comparer avec les années dont le numéro commence par "20")?) Les étages des maisons (comparer les usages dans différents pays).

Cela doit être l'héritage de la non acceptation de 0 comme cardinal, dans le temps...

Cordialement,

[invite6b1a864b]

On s'est bien trompé quelque part, mais pas là.

L'indexation naturelle d'un tableau c'est par (premier, deuxième, troisième, quatrième, ...).

Ce sont des ordinaux.

Et nombre de personnes considèrent naturel de représenter l'ordinal "premier" par le cardinal "1".

Les maths disent autre chose. La relation naturelle entre ordinaux et cardinaux est d'associer le cardinal "0" à l'ordinal "premier". (Exemple, tous deux sont ceux sans prédécesseur.)

Le "bug" apparaît à divers endroits, comme le calendrier (quelle est l'année qui précède l'année 1? Quelle est la première année du XXIème siècle (et comparer avec les années dont le numéro commence par "20")?) Les étages des maisons (comparer les usages dans différents pays).

Cela doit être l'héritage de la non acceptation de 0 comme cardinal, dans le temps...

Cordialement,

merci pour ces infos..

mon idée est de construire un systéme d'opération différent. Le systéme classique, c'est :

x*y = x "+x" (y- 1 fois)

mon idée c'est

x*y = x "+x"(y fois) + y

L'avantage, c'est que

x + 0 = x
x * 0 = x
x ^ 0 =x

...

[invite6b1a864b]

Salut,

on pourrait inventer une nouvelle "multiplication" en suivant ton idée et en étudier les propriétés. Peut-être que cela donnerait des choses intéressantes. On le fait d'ailleurs souvent: sais-tu ce qu'est un groupe ou un anneau?

Dans le cas particulier de ton opération, je crois (pas le temps de vérifier) qu'elle n'aura pas suffisamment de propriétés pour "concurrencer" la multiplication usuelle. Par exemple, (R,+,**) n'est pas un anneau (car + et ** ont le même neutre 0 donc (R,+,**) serait l'anneau trivial {0} si c'était un anneau).

Alternativement, si f est une bijection de R dans R, on peut définir une nouvelle addition ++ et une nouvelle multiplication ** en posant:
a++b=f^(-1)(f(a)+f(b)) et a**b=f^(-1)(f(a)f(b))
(Dans ton exemple, f(x)=x+1)
Mais dans ce cas, on change aussi l'addition, et surtout (R,++,**) est isomorphe à (R,+,*) donc il n'y a pas beaucoup d'intérêt à changer de définition.

Cordialement

Par contre mon exemple, ce qui m'intéresse n'est pas (R;++;**)
(chose trivial, on a juste changer le nom des nombres)
Je regardais une autre opération, qui n'est pas un anneau, pour voir justement si il y avait des choses intéressantes (qu'on ne sait pas déjà donc.. )

J'ai bien conscience de l'ensemble énorme de différence que cela implique (je savais ce qu'étais un anneau). Le truc c'est que je me suis rendu compte qu'il y avait dans cette idée quelques autres propriétés..

[invite6b1a864b]

Un autre problème avec cette nouvelle multiplication est qu'elle n'est pas distributive par rapport à l'addition. Cela va rendre les calculs compliqués !

Mais tous les éléments sauf -1 ont un inverse, c'est déjà un début. Par contre les carrés ne sont pas tous positifs et la racine carré de -1 est -1 !

J'ai vu.. mon idée était de faire un autre genre d'opération :

(x**y)+(x**z) = x**(y+z) + x

donc par exemple :
(x**y)+(x**z)+(x**t)
= x**(y+z+t) + x +x

ce qui est cohérent avec le reste puisque :

x**y +x = x**y +x ** 0

comme l'élément annulant est toujours -1

x ** 0 +x = x ** (1 -1 ) +x
= x**1 + x**-1
= x+x+1 -1
= x+x

[invite6b1a864b]

par contre c'est vrai (et connue ?? ) que si :

X est premier, alors X-1 peut s'écrire comme Y+Z-2 avec Y et Z premier ??

11 -1 = 7-1 + 5 -1
13 -1 = 11-1 + 3 -1
19 - 1 = 13 -1 + 7-1
etc

59 -1 = 29 -1 + 31 - 1
107 -1 = 41 -1 + 67 -1

je n'ai pas trouvé cette loi quand j'ai cherché à vérifier..

[Médiat]

C'est une vraie question mathématique que de se demander si la théorie de IN (ou tout autre structure "bien connue") muni de telle et/ou telle autre opération possède plus ou moins de propriétés que IN muni de + et *.
Par exemple un problème encore ouvert (à ma connaissance) est de savoir si Th(IN, 0, +, .) est définissable à partir de Th(IN, 0, s, c) où s est la fonction successeur et c le prédicat de co-primalité ; ce problème est connu sous le nom de "Conjecture de Woods-Erdös", bien que posé par Julia Robinson (Et oui, il existe au moins une femme logicienne).
Dans votre proposition vous ne précisez pas dans quel ensemble on travaille, mais dans IN par exemple (ou Z ou Q ou IR) votre opération ** est définissable à l'aide de (* et +) mais * est définissable avec (** et +), autrement dit on peut démontrer exactement les mêmes théorèmes, ce qui rend cette opération "sans intérêt" du point de vue du logicien (ne pas le prendre mal, il y a d'autres points de vue).

[invite6b1a864b]

C'est une vraie question mathématique que de se demander si la théorie de IN (ou tout autre structure "bien connue") muni de telle et/ou telle autre opération possède plus ou moins de propriétés que IN muni de + et *.
Par exemple un problème encore ouvert (à ma connaissance) est de savoir si Th(IN, 0, +, .) est définissable à partir de Th(IN, 0, s, c) où s est la fonction successeur et c le prédicat de co-primalité ; ce problème est connu sous le nom de "Conjecture de Woods-Erdös", bien que posé par Julia Robinson (Et oui, il existe au moins une femme logicienne).

j'ai pas compris.

Dans votre proposition vous ne précisez pas dans quel ensemble on travaille, mais dans IN par exemple (ou Z ou Q ou IR) votre opération ** est définissable à l'aide de (* et +) mais * est définissable avec (** et +), autrement dit on peut démontrer exactement les mêmes théorèmes, ce qui rend cette opération "sans intérêt" du point de vue du logicien (ne pas le prendre mal, il y a d'autres points de vue).

Sur IR.. (évidemment la division n'est pas définit sur -1)
C'est pas faux ! évidemment il ne s'agit que d'une permutation.. mais il m'a semblé qu'il y avait un intéret à étudiez la nouvelle structure.. C'est ce que je disait, "ça n'a pas un intêret crucial, mais ça peut faire des trucs intéressant non ? "

[invite6b1a864b]

C'est une vraie question mathématique que de se demander si la théorie de IN (ou tout autre structure "bien connue") muni de telle et/ou telle autre opération possède plus ou moins de propriétés que IN muni de + et *.
Par exemple un problème encore ouvert (à ma connaissance) est de savoir si Th(IN, 0, +, .) est définissable à partir de Th(IN, 0, s, c) où s est la fonction successeur et c le prédicat de co-primalité ; ce problème est connu sous le nom de "Conjecture de Woods-Erdös", bien que posé par Julia Robinson (Et oui, il existe au moins une femme logicienne).
Dans votre proposition vous ne précisez pas dans quel ensemble on travaille, mais dans IN par exemple (ou Z ou Q ou IR) votre opération ** est définissable à l'aide de (* et +) mais * est définissable avec (** et +), autrement dit on peut démontrer exactement les mêmes théorèmes, ce qui rend cette opération "sans intérêt" du point de vue du logicien (ne pas le prendre mal, il y a d'autres points de vue).

mon idée c'est surtout de repéré des choses comme :


(x+x)//y = (x / (y+1)) +x//y
et
(x+x)**y = (x * (y+1)) +x**y

[Médiat]

j'ai pas compris.

A partir du moment où vous avez deux théories dans des langages différents, il est intéressant de se demander si l'une est définissable à partir de l'autre, dans votre cas, (**, +) est défini à partir de (*, +), mais il est facile de montrer sur IR (puisque c'est votre choix) que (*, +) est définissable à partir de (**, +), donc tous les théorèmes dans l'un des langages pourra se traduire en un théorème avec l'autre (et la démonstration pourra se traduire de la même façon). Les deux théories auront les mêmes théorèmes (éventuellement présentés de façons différentes), d'où le peu d'intérêt d'avoir deux théories, sauf si le nouveau langage permet une formulation plus simple ou plus élégante de certains théorèmes.
Je vous donne deux exemples :
Le théorème x*x >= 0 va se traduire en le théorème x**x >= x + x
Le théorème x > y et z > 0 => x*z > y*z va se traduire en x > y et z > 0 => x**z + y > y**z + x.

Je vous laisse définir vous même la relation d'ordre habituelle sur IR avec ** et +.

Si vous trouvez un théorème intéressant qui s'exprime "mieux" avec votre opération, alors cela peut avoir un intérêt.

[invite765732342432]

mon idée c'est

x*y = x "+x"(y fois) + y

L'avantage, c'est que

x + 0 = x
x * 0 = x
x ^ 0 =x

...

Je vais quitter les maths théoriques et revenir à leur fondement: les paquets de billes
L'addition, c'est avoir 2 billes dans la main gauche et 3 billes dans la main droite. On fait la somme et on obtient 2+3 = 5 billes, ça marche en comptant sur les doigts.
SI on a 2 billes et 0 billes, ça donne 2+0 = 2 billes.

La multiplication, c'est faire des paquets de billes. J'ai fait 3 paquets de 2 billes, j'ai donc 3*2 = 6 billes. En utilisant les doigts de mes deux mains, j'arrive à les compter.
Si je n'ai aucun paquet de billes, j'en ai 0*2 = 0.

Si tu changes la multiplication comme tu l'indiques, ces calculs de base n'ont plus aucune réalité. Donc, non on ne s'est pas trompé avec la multiplication.

Maintenant, tu peux créer un nouvel opérateur, pas de soucis. Nombreux sont les mathématiciens à l'avoir fait... mais je ne suis pas sur qu'il sera utilisé !

[ericcc]

Mais il y a parfois un grand intérêt à considérer ce genre de nouvelles opérations, et d'observer comment les ensembles habituels se déforment.

Si je me souviens bien c'est un peu la démarche de Minkowski qui a étudié comment une distance différente de la distance euclidienne conduisait à des géométries bizarres.

Un exemple pratique, c'est la fameuse carte de France déformée par la distance TGV.

[invité576543]

Pour amplifier le propos de Faith, l'addition au sens commun (toute opération de groupe plus précisément et plus généralement) permet de définir immédiatement une opération externe se présentant comme une multiplication par un entier relatif.

Dans le cas de Z, elle se présente du coup comme une opération interne, et c'est la multiplication dans Z.

Vu comme cela la multiplication dans Z est "canonique", c'est un choix forcé par l'addition elle-même.

Cordialement,

[Médiat]

Je profite de ce fil pour signaler une "subtilité" qui se cache dans la différence entre l'approche par isomorphisme (signalée par taladris) et l'approche par inter-définissabilité que j'ai signalée.
Dans l'isomorphisme entre IR(0, *) et IR(-1, **), les théorèmes se traduisent par le remplacement de * par ** et le remplacement des constantes par leur image par l'isomorphisme, par exemple :
x*0 = 0 se traduit en x**(-1) = -1
Dans l'approche par inter-définissabilité, les théorèmes se traduisent par le remplacement de * par sa définition à l'aide de ** et +, et les constantes sont conservées, par exemple :
x*0 = 0 se traduit en x**0 = x
Dans le cas présenté ici, il me semble que l'approche par inter-définissabilité s'impose puisque IR(0, +, *) n'est pas isomorphe à IR(0, +, **), comme l'a signalé taladris, par contre ces structures sont bien inter-définissables.

[invite6b1a864b]

Je vais quitter les maths théoriques et revenir à leur fondement: les paquets de billes
L'addition, c'est avoir 2 billes dans la main gauche et 3 billes dans la main droite. On fait la somme et on obtient 2+3 = 5 billes, ça marche en comptant sur les doigts.
SI on a 2 billes et 0 billes, ça donne 2+0 = 2 billes.

La multiplication, c'est faire des paquets de billes. J'ai fait 3 paquets de 2 billes, j'ai donc 3*2 = 6 billes. En utilisant les doigts de mes deux mains, j'arrive à les compter.
Si je n'ai aucun paquet de billes, j'en ai 0*2 = 0.

Si tu changes la multiplication comme tu l'indiques, ces calculs de base n'ont plus aucune réalité. Donc, non on ne s'est pas trompé avec la multiplication.

Maintenant, tu peux créer un nouvel opérateur, pas de soucis. Nombreux sont les mathématiciens à l'avoir fait... mais je ne suis pas sur qu'il sera utilisé !

Il y a forcément une "autre" réalité.. mon idée au départ était non pas de compter les "groupes" de bille, mais les "opérations de duplication"..
J'ai cinq bille, que je veux multiplier classiquement par deux.. Je n'ouvre donc qu'une seul fois ma machine à dupliquer.. Je n'ai d'ailleurs besoin que d'un seul autre ami avec cinq bille pour faire un sac de dix.. mais en faite ça marche pas car il faut rajouter un bille à chaque duplication pour respecter la commutativité

[invite6b1a864b]

quand on multiplie par deux, on ne duplique qu'une fois !

[invite6b1a864b]

J'ai remarqué un truc interessant concernant les nombres premiers..

Dans mon exemple apparament, les nombres premiers sont les entiers précédent les premiers classiques :
2,4,6,10,12,16,18,22,28,30,36, 40,42,46,52,58,60,66,70,72,78, 82,88,96,100,102,106,108,112,1 26,130,136,138,148

On remarque que :
- chacun est la somme de deux plus petits Pn = Pa + Pb
- deux plus petits peuvent être eux même la somme de deux plus petits : j'ai ajouté un tableau qui montre une certaine régularité..

C'est comme si on essaye toutes les sommes de nombres sauf certaines, mais je n'ai pas trouvé lesquelles

[invite765732342432]

Il y a forcément une "autre" réalité.. mon idée au départ était non pas de compter les "groupes" de bille, mais les "opérations de duplication"..
J'ai cinq bille, que je veux multiplier classiquement par deux.. Je n'ouvre donc qu'une seul fois ma machine à dupliquer.. Je n'ai d'ailleurs besoin que d'un seul autre ami avec cinq bille pour faire un sac de dix.. mais en faite ça marche pas car il faut rajouter un bille à chaque duplication pour respecter la commutativité

Je veux bien, il n'y a pas de soucis.
Mais il ne faut plus parler de multiplication, ni faire de rapprochement avec celle ci. C'est un autre opérateur, qui n'a pas vraiment de signification concrète directe:
x**y = ((x+1)*(y+1))-1
3**5 = ((3+1)*(5+1))-1 = 23 (nombre premier, d'ailleurs )

Certes, tu as " l'avantage " d'avoir le même élément neutre pour + et **... mais du coup, -1 devient l'élément absorbant de **...

L'idée est amusante, elle peut même avoir des avantages, mais ton choix de ** est à la fois trop simple pour être utile (simple déformation de la multiplication "normale", je doute qu'elle apporte de nouvelles lois intéressantes, contrairement aux différentes distances) et trop complexe pour se référer à quelque chose de concret (j'ai du mal à voir le sens: en particulier le -1 ajouté à la fin du calcul)

Mais je me répète, l'idée de base n'est pas mauvaise !

[invite6b1a864b]

Je veux bien, il n'y a pas de soucis.
Mais il ne faut plus parler de multiplication, ni faire de rapprochement avec celle ci. C'est un autre opérateur, qui n'a pas vraiment de signification concrète directe:
x**y = ((x+1)*(y+1))-1
3**5 = ((3+1)*(5+1))-1 = 23 (nombre premier, d'ailleurs )

Certes, tu as " l'avantage " d'avoir le même élément neutre pour + et **... mais du coup, -1 devient l'élément absorbant de **...

L'idée est amusante, elle peut même avoir des avantages, mais ton choix de ** est à la fois trop simple pour être utile (simple déformation de la multiplication "normale", je doute qu'elle apporte de nouvelles lois intéressantes, contrairement aux différentes distances) et trop complexe pour se référer à quelque chose de concret (j'ai du mal à voir le sens: en particulier le -1 ajouté à la fin du calcul)

Mais je me répète, l'idée de base n'est pas mauvaise !

Le -1 ? c'est nécessaire pour que 0 soit neutre : (x+1)*(0+1) -1 =x

[invite765732342432]

Le -1 ? c'est nécessaire pour que 0 soit neutre : (x+1)*(0+1) -1 =x

Je sais Mais il n'a pas de sens (physique), enfin je crois.
L'opérateur ** est donc simplement une commodité de notation.
Son intérêt se résume donc à ramener l'élément neutre pour ** à la même valeur que l'élément neutre pour +
Ce qui, d'un point de vue mathématique, n'a pas d'intérêt (à ma connaissance). Pour un mathématicien, la "valeur" des éléments neutres n'est pas importante. Et que cette valeur soit la même ou pas ne pose aucun problème (toujours à ma connaissance)
Vouloir obtenir un même élément neutre est une quête esthétique, avant tout.

[Médiat]

Donc, non on ne s'est pas trompé avec la multiplication.

Je crois au contraire que One Eye Jack a parfaitement raison (), on s'est trompé dans la définition des opérations usuelles sur les nombres entiers naturels, en effet nous sommes obligé d'en utiliser deux alors que l'on aurait pu tout faire avec une seule ; deux exemples :

1) F(x, y, z) = x*y*z + (x + y)*(1 - z)
Je vous laisse démontrer, c'est trivial (même sur IR), que l'addition et la multiplication sont définissables à l'aide de cette seule opération (à 3 opérandes).

2) L'exponentiation (x^y), là encore, je vous laisse démontrer, c'est aussi trivial (), que l'addition et la multiplication sont définissables à l'aide de cette seule opération.

[invite765732342432]

1) F(x, y, z) = x*y*z + (x + y)*(1 - z)
2) L'exponentiation (x^y)

Bonne idée ! Comme ça, ça simplifiera les programmes scolaires: Epreuve de maths du BAC S: maitriser l'opérateur unique.

[invite6b1a864b]

Je crois au contraire que One Eye Jack a parfaitement raison (), on s'est trompé dans la définition des opérations usuelles sur les nombres entiers naturels, en effet nous sommes obligé d'en utiliser deux alors que l'on aurait pu tout faire avec une seule ; deux exemples :

1) F(x, y, z) = x*y*z + (x + y)*(1 - z)
Je vous laisse démontrer, c'est trivial (même sur IR), que l'addition et la multiplication sont définissables à l'aide de cette seule opération (à 3 opérandes).

2) L'exponentiation (x^y), là encore, je vous laisse démontrer, c'est aussi trivial (), que l'addition et la multiplication sont définissables à l'aide de cette seule opération.

ça ne nous dit pas comment on définit la fonction, simplement qu'onpeut l'écrire différement..

Contrairement à moi qui
propose

x "+x" (y fois) +y

comme définition suffisante de l'opérateur.. certe il y a le y "fois"
mais on aurait pu écrire

"x" (y **)

et ça vous en aurait bouché un coin..

[Médiat]

ça ne nous dit pas comment on définit la fonction,

Pourtant je les ai écrites ...

et ça vous en aurait bouché un coin..

Désolé, mais c'est nouveau pour moi comme argument mathématique, pouvez-vous détailler ?

[invite6b1a864b]

Pourtant je les ai écrites ...

Désolé, mais c'est nouveau pour moi comme argument mathématique, pouvez-vous détailler ?

Ce que je veux dire, c'est que si c'est de l'ironie, vous définissez la multiplication et l'addition à l'aide d'une fonction qui contient la multiplication et l'addition.. hors vous ne faite aucunement référence à l'opération formel qui définit la multiplication :

le fait que 3 x = x+x+x
qu'on puisse compter les x, c'est ça qui donne la multiplication. Le lien entre cardinal de l'ensemble des termes et résultat de l'addition.

Mon hypothèse aurait pu paraitre farfelue, mais ce que je voulais montrer c'est que la définition :

"x *y" = "x" +( "*x" répété (y-1) fois )

n'est pas plus pertinente que

"x **y" = "x" +( "*x" répété (y) fois ) "+ y"

L'un comme l'autre sont auto-réfèrentes dans le fond..

[invite6b1a864b]

Oups !

Il fallait bien sur lire :

"x *y" = "x" +( "+x" répété (y-1) fois )

n'est pas plus pertinente que

"x **y" = "x" +( "+x" répété (y) fois ) "+ y"

L'un comme l'autre sont auto-réfèrentes dans le fond..

c'est étonnant d'ailleurs que

"x" +( "+x" répété (y) fois ) "+ y" = "y" +( "+y" répété (x) fois ) "+ x"

Exemple :

3+ 3 + 3+ 3+ 3 + 4 = 4+ 4 + 4 + 4 + 3 =19
3+ 3 + 3+ 3+ 3 = 3+ 3 + 3 + 3 + 3 =15
3+ 3 + 3+ 2 = 2+2+2+2+3 = 11
3+ 3 + 1 = 1+ 1 + 1 +1 + 3 =7

[Hamb]

personnellement le fait que x*y = y*x ne m'étonne pas plus que ca.