Polynôme,dérivée n-ième.

[invite621a8f3c]

Bonjour,

J'aurai d'une aide pour un exo, le voici:

On note la dérivée d'ordre n de la fonction numérique de la variable réelle x, définie par:



1. Montrer que pour tout entier naturel n, il existe un polynôme de degré n noté , tel que:

=

2. Trouver une équation différentielle du premier ordre vérifée par f.



pour la question 1, j'ai pensé à faire un raisonnement par récurrence, mais je ne sais pas si c'est la bonne méthode. Le but est de déterminer le polynôme P ?

Pour l'équation différentielle, je n'ai aucune méhode pour la trouver, a partir d'une fonction et d'une dérivée on peut établir uné équation différentielle ?


Au dénominateur il s'agit à chaque fois d'exposant 1/4 et n+ (1/4)
Merci pour votre aide.
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[God's Breath]

Pour la question 1, une récurrence est une très bonne idée ; l'énoncé demande de prouver l'existence de , mais il n'est pas question de le déterminer explicitement.

Pour la question 2, on cherche une fonction u telle que le produit soit constant. En dérivant, on obtient que est solution de l'équation différentielle , que l'on peut éventuellement simplifier.

[invite621a8f3c]

Salut God'S Breath, merci pour ton aide.

Pour la récurrence, lors de l'hérédité, pour prouver que la propriété est vraie au rang n+1, je considère l'expression de et je la dérive pour obtenir ?

Pour l'équation différentielle, pourquoi cherche t-on une fonction u telle que le produit u. soit constant ? Comment trouvez vous cela ?