une question de maths et une devinette

[invite986312212]

bonjour à tous,

mes filles m'ont offert pour noël un jeu de dés en forme de solides platoniciens. Je leur ai appris qu'il n'y avait que cinq tels solides et que ce fait était connu des Grecs, mais je ne me suis pas hasardé à le leur démontrer. Je connais la preuve utilisant la formule d'Euler, mais comment faisait-on du temps de Platon?

ça c'était la question, la devinette est: qu'est-ce qui singularise le tétraèdre parmi les solides platoniciens? (ne répondez pas que c'est celui qui a le moins de faces)
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[Thorin]

Salut,

Pourquoi cinq seulement ?
Un polyèdre régulier doit avoir le même nombre de polygones réguliers en chacun de ses sommets. Ce nombre est évidemment au minimum de 3. Le maximum dépendra de l'angle du polygone régulier. En effet si la somme des angles au sommet atteint ou dépasse 360°, nous obtenons un plan ou une superposition des faces.

Commençons donc par 3. Le polygone régulier ayant 3 côtés est le triangle équilatéral, chaque angle mesure 60°.
Si nous en plaçons 3 en chaque sommet du polyèdre régulier, nous obtenons le tétraèdre régulier.
Si nous plaçons 4 triangles équilatéraux en chaque sommet du polyèdre régulier, nous obtenons l'octaèdre régulier.
Si nous plaçons 5 triangles équilatéraux en chaque sommet du polyèdre régulier, nous obtenonsl'icosaèdre régulier.
Et si nous essayons 6 triangles, nous avons 6x60°=360°, nous n'aurons pas de sommet pour le polyèdre, c'est donc impossible, regardons maintenant le polygone régulier à 4 côtés, il s'agit du carré.

On peut placer 3 carrés en chaque sommet du polyèdre régulier, nous obtenons le cube.
Si nous essayons 4 carrés, nous avons 4x90°=360°, nous n'aurons pas de sommet pour le polyèdre, c'est impossible, regardons maintenant le polygone régulier à 5 côtés, il s'agit du pentagone régulier dont chaque angle mesure 108°.

On peut placer 3 pentagones réguliers en chaque sommet du polyèdre régulier, nous obtenons le dodécaèdre.
Si nous essayons 4 pentagones , nous avons 4x108°=432°, supérieur à 360°, il y aura superposition, nous n'aurons pas de sommet pour le polyèdre, c'est impossible, regardons maintenant le polygone régulier à 6 côtés, il s'agit de l'hexagone régulier dont chaque angle mesure 120°.
Mais 3x120°=360°, c'est impossible. Et les autres polyèdres réguliers ont des angles de plus en plus grands, inutile alors de continuer. Nous avons ainsi obtenu les cinq seuls solides parfaits de Platon.

Platon est né en 427 et mort en 347 avant notre ère. Il est l'un des plus grands philosophes grecs de l'Antiquité, chef d'une Ecole, l'Académie ; ses œuvres sont écrites sous forme de dialogues dont l'un des protagonistes est Socrate, et sa philosophie est l'une des premières philosophies rationalistes.

http://pagesperso-orange.fr/therese....tes/platon.htm

[Médiat]

qu'est-ce qui singularise le tétraèdre parmi les solides platoniciens ?

C'est celui qui est le plus pas comme les autres !

[MathHerbe]

C'est le seul qui lorsqu'il est posé sur un face, ne présente pas de face de l'autre côté.

[A voir en vidéo sur Futura]

[taladris]

bonjour à tous,

mes filles m'ont offert pour noël un jeu de dés en forme de solides platoniciens. Je leur ai appris qu'il n'y avait que cinq tels solides et que ce fait était connu des Grecs, mais je ne me suis pas hasardé à le leur démontrer. Je connais la preuve utilisant la formule d'Euler, mais comment faisait-on du temps de Platon?

ça c'était la question, la devinette est: qu'est-ce qui singularise le tétraèdre parmi les solides platoniciens? (ne répondez pas que c'est celui qui a le moins de faces)

C'est le seul qui soit autodual, non?

[invite986312212]

merci à Thorin pour la citation. La preuve que je connais est meilleure parce qu'elle montre que le résultat est purement combinatoire, mais celle basée sur les angles est satisfaisante.

et c'est MathHerbe qui a trouvé la réponse à laquelle je pensais: si on veut empiler les solides platoniciens, il faut mettre le tétraèdre au sommet de la pile.

[Médiat]

C'est le seul qui soit autodual, non?

Oui, c'est aussi le seul dont le nombre de faces par sommet est égal au nombre de sommets par face