Exercices suites-séries

[inviteae1101ca]

Bonsoir, j'ai un exercice assez difficile à résoudre. J'ai essayé de le faire comme je le pouvais mais je n'ai pas réussis , alors je souhaiterais avoir votre aide. Voila l'exercice:
Soit U_n une suite, a_n une suite de nombres réels strictement positif, U₀ strictement positif et U_n+1 = U_n + U_n/a_n. Montrer que la suite U_n converge équivaut à dire que la série de terme général a_n converge. Merci d'avance pour votre aide.
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[God's Breath]

Ce résultat me semble faux.

Si , la série de terme général converge, et la suite , définie par et , me semble diverger vers .

[inviteae1101ca]

Mais il demande pourtant de démontrer l'équivalence, je n'ai pas fait de faute de frappe !!!

[mimo13]

Mais il demande pourtant de démontrer l'équivalence, je n'ai pas fait de faute de frappe !!!

Faut pas croire tout ce qui est écrit dans les livres !!

[A voir en vidéo sur Futura]

[Universus]

Soit U_n une suite, a_n une suite de nombres réels strictement positif, U₀ strictement positif et U_n+1 = U_n + U_n/a_n. Montrer que la suite U_n converge équivaut à dire que la série de terme général a_n converge.

Es-tu sûr qu'il est écrit que l'une converge quand l'autre le fait également? On peut montrer par exemple que si converge, alors diverge et donc la série diverge aussi.

On a , donc la suite est strictement croissante (ce qui se montre par une petite récurrence, mais cela est assez intuitif). De cela, on déduit aussi que si , alors la limite de la suite (si elle existe) doit être strictement positive. De plus, dans les réels, toute suite converge est une suite de Cauchy (et inversement), c'est-à-dire :



Donc si la suite converge, elle doit être de Cauchy et doit donc satisfaire la définition ci-dessus. En particulier pour m=1 :



Puisqu'on peut prendre une valeur de aussi petite qu'on souhaite et que néanmoins doit être plus grand qu'une valeur strictement positive ne tendant pas vers 0, on en conclut que la suite diverge vers . Cela implique donc clairement que et ainsi la série diverge.

De cela, on déduit (par logique ou en effectuant une nouvelle analyse) que si converge, alors diverge.

Il reste deux cas de figures : est-ce que la suite des converge si la série diverge et est-ce que la série converge si la suite diverge? On peut démontrer que la réponse est non par des contre-exemples, celui-ci s'appliquant aux deux situations :

Soit la suite . La série associée diverge et la suite des qui lui est associée diverge aussi (puisque et donc ).

Bref tout ceci montre non seulement que la proposition que tu cherchais à démontrer est fausse (mais le contre-exemple de God's Breath suffisait à s'en convaincre), mais aussi que la proposition suivante est fausse :

Dire que la suite des converge équivaut à dire que la série des diverge et dire que la série converge équivaut à dire que la suite diverge.

Bref, je ne vois même pas comment modifier l'énoncé de ton problème pour qu'il soit vrai sans laisser tomber le «équivaut» (par lequel j'entends «si et seulement si»).

[inviteae1101ca]

Avec ces contre-exemples et ces démonstrations , je pense qu'il y a une erreur dans l'énoncé. Merci à tous !!!!!!!