Interpolation strictement croissante ?

[ijk]

Bonjour, j'aimerai savoir si vous pouvez m'aider à interpoler un certain nombre de points ?

J'ai un ensemble de points uniformément répartis sur x :
{(0, y0), (1, y1), (2, y2), (3, y3), (4, y4), (5, y5), etc...}

Avec y(n) strictement supérieur à y(n-1) - la différence ne peut pas être égale à zéro.

J'aimerai avoir une courbe strictement croissante, continue et dérivable passant par tous les points - la dérivé ne peut pas être nulle.

Quel genre de courbe me permettrait de vérifier cela ?

- en tout cas c'est sûr : une simple interpolation polynomiale n'est pas suffisante

Merci beaucoup pour tout début d'idée de votre part.
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[ijk]

Personne n'a d'idée ?

[invite986312212]

- en tout cas c'est sûr : une simple interpolation polynomiale n'est pas suffisante

et pourquoi pas?

[ijk]

et pourquoi pas?

Parce que "intuitivement" je ne pense pas que toutes interpolations cubiques passant par quatre points strictement croissants produit dans tous les cas une courbe strictement croissante.

C'est le cas ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite06622527]

salut ijk,

si tu te donnes une fonction f(t) quelconque (intégrable) et (c) une constante quelconque non nulle, (f(t))²+c² est toujours positive, quel que soit t. Intégrons cette fonction :
F(x) = Somme (pour t=0 à x) de ((f(t))²+c²)dt
Cette fonction est strictement croissante, donc répond à ta demande.
Tu peux donc trouver une infinité d'exemples, y compris certains polynômes (mais pas tous les polynômes).
Exemple ultra simple :
f(t)=t
F(x) = Somme (pour t=0 à x) de (t²+c²)dt
F(x) = (t^3)/3 + c²t + C
avec C constante quelconque
Ce polynôme est une fonction strictement croissante.

[ijk]

salut ijk,

si tu te donnes une fonction f(t) quelconque (intégrable) et (c) une constante quelconque non nulle, (f(t))²+c² est toujours positive, quel que soit t. Intégrons cette fonction :
F(x) = Somme (pour t=0 à x) de ((f(t))²+c²)dt
Cette fonction est strictement croissante, donc répond à ta demande.
Tu peux donc trouver une infinité d'exemples, y compris certains polynômes (mais pas tous les polynômes).
Exemple ultra simple :
f(t)=t
F(x) = Somme (pour t=0 à x) de (t²+c²)dt
F(x) = (t^3)/3 + c²t + C
avec C constante quelconque
Ce polynôme est une fonction strictement croissante.

Merci beaucoup pour l'aiguillage ! Je vais voir cela et reviendrai vous dire si cela correspond

[taladris]

Plus simplement, tout polynôme dont le polynôme dérivé n'a pas de racine réelle est strictement monotone (strictement croissant ssi son coefficient dominant est positif).

De plus, pour un polynôme P quelconque (non constant), si on note a la plus grande racine réelle de son polynôme dérivé (*), on a P strictement monotone sur
(si elle existe, sinon et on n'a l'exemple précédent)

Donc ce n'est pas clair qu'une interpolation polynomiale soit impossible.

[ijk]

Donc ce n'est pas clair qu'une interpolation polynomiale soit impossible.

Oui oui !

En fait j'ai dit ça pour qu'on évite de me sortir une interpolation lagrangienne / newtonienne qui ne m'aurait en rien avancée.

Et vos propositions ne sont plus de simples interpolations polynomiales

Moi je cherchais une courbe "plus naturelle" dont la dérivée est l'exponentiel d'un polynôme. J'étais plutôt mal barré !

Avec vos idées cela semble beaucoup plus facile

[ijk]

F(x) = Somme (pour t=0 à x) de ((f(t))²+c²)dt

Autrement je crois que j'aimerai beaucoup avec f(t) une série de Fourier - bon allez avec c = 0

Je me demande bien si c'est facile