Coordonnées sur une planète...

[invite765732342432]

Bonjour à tous...

Pour un petit projet informatique personnel, je voudrais utiliser un système de coordonnées avec lequel la distance physique entre deux points sur le globe est directement proportionnelle à la différence de coordonnées. De plus ce système devra conserver l'aspect cyclique de la planète (contrairement à une carte "classique" où on ne peut pas "traverser" les pôles pour aller "de l'autre coté" de la Terre)

Je m'explique:
Avec la latitude et la longitude, deux points situés à la même latitude mais à une longitude différente seront plus éloignés l'un de l'autre en fonction de latitude (Les extrema étant situés à l'équateur et aux pôles)

Voilà donc ma question: peut-on envisager un système de coordonnées tel que celui que j'ai décris plus haut ?
J'ai envisagé pas mal de possibilités, mais aucune ne semble satisfaisante...

Merci de votre aide

PS: Si mon explication n'est pas claire, n'hésitez pas à me demander des précisions...
-----

[invite1ff1de77]

bonjour
la première partie de ta question est un peu ambigue
mais il me semble que tu as besoin d'un systeme de coordonné polaire (car il s'agit d'une sphère)
j'aimerais que tu spécifies l'objectif de ton projet
pour qu'on puisse t'aider
....

[martini_bird]

Salut,

une idée comme ça: pourquoi ne pas travailler comme sur une carte "à plat" modulo une certaine "hauteur" et une certaine "largeur" (comme dans pacman^®, copyright deep_turtle).

Cordialement.

[invitead065b7f]

mais il me semble que tu as besoin d'un systeme de coordonné polaire
....

Salut,

il me semble que le système polaire convient pour la dimension 2.
IL y a deux généralisations classiques en physique de ces coordonnées : les coordonnées sphériques qui sont le mieux adapatés aux sphéres mais qui ne conviennent pas ici (on se repère avec la latitude et la longitude, c'est le système qu'il décrit et qui ne convient pas). Le deuxième système est les coordonnées cylindriques (bizar comme construction de phrase ) : on se repère sur un cylindre de rayon donné (rayon du cercle de base) par la hauteur et un angle. C'est en fait une sorte de translation des coordonnées polaires. Ici encore, cela ne convient pas (je n'ai pas regardé en détail, mais il y a forcément une racine carré au niveau de la hauteur et du rayon...).

Pour revenir à la question de base, je vais essayer de la formuler mathématiquement. Tu veux :



où x, y, z représente ton système de coordonnées, c'est ça?


Ca me parrait difficile. Mais je vois pas comment montrer que ce ne serait pas possible.

Amicalement
Moma

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite765732342432]

une idée comme ça: pourquoi ne pas travailler comme sur une carte "à plat" modulo une certaine "hauteur" et une certaine "largeur" (comme dans pacman^®, copyright deep_turtle).

Parce que dans une carte "à plat", deux points situés sur la 1ère ligne sont physique extrèmement proches (car il suffit de franchir le pôle pour rejoindre les deux) tandis que si on calcule la distance entre les deux points grace à leurs coordonnées, on obtient une valeur qui peut être très grande...

Où alors il faut créer une nouvelle distance, mais... il ne m'a pas fallu longtemps pour abandonner cette idée qui est un peu trop compliquée pour moi

[invite765732342432]

bonjour
la première partie de ta question est un peu ambigue
mais il me semble que tu as besoin d'un systeme de coordonné polaire (car il s'agit d'une sphère)

C'est bien ce qu'il me semble, mais je n'arrive pas à trouver des couples d'angles valables.

j'aimerais que tu spécifies l'objectif de ton projet
pour qu'on puisse t'aider....

C'est pas très compliqué: je souhaite modéliser le relief d'une planète fictive.
Pour enregistrer le relief, je souhaite enregistrer les coordonnées de chaque "bosse" ou "creux" ainsi que la hauteur.
Je souhaite ensuite pouvoir calculer l'altitude de n'importe quel point de ma planète grace à un petite algo prenant en compte chaque "bosse" ou "creux" à proximité.

Seulement, pour que cet algo marche, j'ai besoin pouvoir calculer la distance entre deux points sur ma planète. C'est pour ça que j'aimerai pouvoir déduire facilement des coordonnées "polaires" (ou autre) une distance...

J'espère avoir été un peu plus clair cette fois

[martini_bird]

Il suffit de se placer dans IR/aIR × IR/bIR, mais oublie car ce n'est pas topologiquement équivalent à une sphère.

[invite765732342432]

Pour revenir à la question de base, je vais essayer de la formuler mathématiquement. Tu veux :



où x, y, z représente ton système de coordonnées, c'est ça?

En fait, j'espère plutôt utiliser un système de coordonnée à deux dimensions pour repérer un point sur la planète. Et a partir de ces coordonnées déduire la distance physique.

Celà dit, tu me fais penser à une technique: Utiliser lattitude et longitude pour repérer mes points et convertir ces coordonnées en 3D pour calculer plus facilement la distance...
Ce n'est pas aussi élégant que je l'aurai espéré, mais c'est déjà une méthode (enfin, j'espère)
Celà revient donc à:
Coordonnées d'un point: (L, l)
Rayon planétaire: R
Centre de la planète: C
Coordonnées dans un repère orthonormé de centre C: (x, y, z)

(x, y, z) = f(L, l) => f() ne devrait pas être trop compliquée à établir (Je ferais ça ce soir )
Et à partir de là, D((L1,l1), (L2,l2))²=(x1-x2)²+(y1-y2)²+(z1-z2)²

Si jamais vous avez une idée pour améliorer ce bidouillage... Ce sera très volontiers

EDIT:

Il suffit de se placer dans IR/aIR × IR/bIR, mais oublie car ce n'est pas topologiquement équivalent à une sphère.

HA... ben j'oublie alors

[invitead065b7f]

Resalut,

En fait, tu te propose de refaire la construction du système de coordonnées sphériques, mais sans l'avoir vu auparavant .

Bonne idée.
Un petit tuyau : un bon coup de projection et de trigo sur un joli petit dessin devrait faire l'affaire. (J'avoue que j'ai la flemme de le faire ).


Amicalement
Moma

[invite765732342432]

Resalut,
En fait, tu te propose de refaire la construction du système de coordonnées sphériques, mais sans l'avoir vu auparavant .
Bonne idée.

Un petit tuyau : un bon coup de projection et de trigo sur un joli petit dessin devrait faire l'affaire. (J'avoue que j'ai la flemme de le faire )

Il doit encore me rester suffisemment de souvenirs de trigo pour faire ça tout seul... enfin j'espère

[martini_bird]

Pour commencer: les coordonnées d'un point sur la sphère unité en fonction de la latitude et de la longitude : (cos(u)cos(v), cos(u)sin(v), sin(u)).

[invite51f4efbf]

Tu prends l'angle au centre entre les deux vecteurs qui relient tes points au centre. Tu multiplies par le rayon, et tu as terminé. C'est bien une distance, c'est simple et ça marche bien

[Jeanpaul]

Avant d'essayer sur une sphère, serais-tu capable de le faire dans un plan ? Pas sûr !

[doryphore]

Bonjour à tous...

Pour un petit projet informatique personnel, je voudrais utiliser un système de coordonnées avec lequel la distance physique entre deux points sur le globe est directement proportionnelle à la différence de coordonnées.

C'est possible, ça ???

[invitead065b7f]

Je ne pense pas.

Pour moi une distance, c'est plutôt des histoires quadratiques (enfin, des racines carrés, ou des carrés de distance, ce genre de choses) ou trigonométriques... A moins de ne pas prendre la distance euclidienne classique (là je ne dis plus rien, sauf pas de linéarité non plus) , mais l'application au problème physique me parrait plus ardue...

Pas de linéarité en tout cas, mias en fait, la question de Faith était justement celle que tu poses .


Amicalement
Moma

[doryphore]

Je crois qu'il y a une raison fondamentale à cette impossibilité et que c'est pourquoi les cartographes n'ont jamais pu représenter le globe en respectant à la fois les distances et les angles...
C'est aussi pour cela que ma carte sur Flight Simulator ne va pas jusqu'aux pôles: donc je ne voudrais pas être pessimiste mais...

[matthias]

Si j'en crois ceci:

Et à partir de là, D((L1,l1), (L2,l2))²=(x1-x2)²+(y1-y2)²+(z1-z2)²

J'ai l'impression que Faith cherche bien à se ramener à la distance euclidienne, et donc je doute aussi de la faisabilité du projet de départ. Mais si j'ai bien compris, ce n'était que pour essayer de rendre les calculs plus simples dans un cadre informatique.

Au fait Faith, ce que tu veux est vraiment la distance euclidienne, ou la longueur de la géodésique reliant les deux points (auquel cas il faut se ramener à la solution de Stephen) ?

[martini_bird]

Je crois qu'il y a une raison fondamentale à cette impossibilité et que c'est pourquoi les cartographes n'ont jamais pu représenter le globe en respectant à la fois les distances et les angles...

Hum, soient deux points A et B sur une sphère: il existe un seul grand cercle passant par ces points. La distance entre A et B est simplement la longueur de l'arc de cercle AB et elle peut s'exprimer en terme de longitudes et de latitudes (donc d'angles).
Je ne vois pas où est le problème.

Cordialement.

[invite765732342432]

Si j'en crois ceci:

J'ai l'impression que Faith cherche bien à se ramener à la distance euclidienne, et donc je doute aussi de la faisabilité du projet de départ. Mais si j'ai bien compris, ce n'était que pour essayer de rendre les calculs plus simples dans un cadre informatique.

Tout à fait...

Au fait Faith, ce que tu veux est vraiment la distance euclidienne, ou la longueur de la géodésique reliant les deux points (auquel cas il faut se ramener à la solution de Stephen) ?

Je ne suis pas encore sur de celle que je choisirai: la distance euclidienne me suffirait car les points que je vais utiliser seront assez peu éloignés.
Mais je vais également étudier la longueur de la géodésique: si les calculs ne sont pas trop gourmants, je pense que c'est celle que je vais adopter...

En tout cas, merci à tous pour ces quelques pistes de recherche.
La solution que j'espérais semble effectivement impossible à atteindre, mais celles que j'ai lu ici feront l'affaire.

[doryphore]

Imagine que le point A ait pour coordonnées 80°N ET 0°W
et que pour B on ait 80°N et 180°W,

le grand cercle passe par le pôle et s'il existe une relation de proport. entre les diff de coord et la distance, on doit avoir d=a*0+b*180.

Or, si on se trouve en A (0°N 0°W) et B(0°N 20°W), le grand cercle est l'équateur la distance est l même et on devrait avoir d=a*0+b*20

C'est là que je vois un problème...

[Rincevent]

Je ne vois pas où est le problème.

le problème c'est que tu ne peux pas définir une carte valable sur toute la sphère : tu dois nécessairement viré un pôle et c'est ce qui fait que tu peux pas voir S² comme une partie de R² et donc comme un truc plat.

[Rincevent]

C'est là que je vois un problème...

euh, si c'est ça le problème pour toi, on peut pas simplement dire aussi que la relation linéaire ne peut pas être une distance car :

- ce ne peut pas être une forme positive (et si on met une valeur absolue en toute rigueur on n'est plus linéaire)
- elle aura du mal à respecter la règle des triangles ? (à vérifier mais ça me semble mal barrée )

[doryphore]

Effectivement...
Dérouté par le contexte malheureusement...

[martini_bird]

le problème c'est que tu ne peux pas définir une carte valable sur toute la sphère : tu dois nécessairement viré un pôle et c'est ce qui fait que tu peux pas voir S² comme une partie de R² et donc comme un truc plat.

Oui OK on prend deux cartes.

Merci.

[invite51f4efbf]

ce qu'il veut dire c'est que la sphère n'est pas plate En fait quelle que soit la paramétrisation choisie, son tenseur métrique n'est pas l'identité.

[martini_bird]

Salut,

le tenseur métrique n'est pas l'identité: ok. Et comment fait-on pour définir une distance alors?

Merci de m'éclairer.

[Rincevent]

Et comment fait-on pour définir une distance alors?

bah avec un tenseur métrique par exemple...

plus sérieusement, je comprends pas trop ta question... c'est pas parce que ton tenseur métrique ne peut pas être ramené à l'identité sur toute une variété qu'il ne peut pas servir à mesurer.

Dans un espace de Riemann, la métrique te sert toujours à mesurer les distances, simplement tu montres qu'une condition nécessairement et suffisante pour que ton espace soit plat (et donc qu'il existe un système de coordonnées globales dans lequel la métrique peut être "applatie") est que le tenseur de Riemann associé au tenseur métrique soit nul. Si ce tenseur est nul (ce qui est vrai indépendamment de la carte que tu as éventuellement choisie pour le calculer) alors c'est indépendant de toute carte et tu es certain qu'il existe une carte globale dans laquelle la métrique a pour représentation l'identité.

[martini_bird]

Merci Rincevent.

La réponse de Stephen m'a fait douter: donc si je veux définir une distance entre deux points, je choisis une carte qui les contient et la distance est indépendante du choix des cartes. C'est bien ça?

[Rincevent]

donc si je veux définir une distance entre deux points, je choisis une carte qui les contient et la distance est indépendante du choix des cartes. C'est bien ça?

si tu as bien défini ta distance à partir d'un tenseur métrique, alors effectivement la distance est invariante lors d'un changement de carte.

Pour résumer, un tenseur est métrique (sur un espace vectoriel E de dimension finie) si c'est un tenseur doublement contravariant symétrique non-dégénéré (ou défini positif si on restreint la définition aux espaces proprement euclidiens excluant les pseudo-euclidiens type minkowski) qui implique donc une application définie de ExE dans R.

Une fois que tu as défini ça, pour une variété différentiable "gentille" (elle est C^k pour tout k) de dimension finie, tu dis qu'un "champ tensoriel métrique" (qu'on appelle souvent par abus de langage "une métrique") est un champ tensoriel doublement contravariant (appartenant au double produit cartésien de la fibre cotangente TM*xTM*) qui est un tenseur métrique en chaque point "p" de la variété.

En clair ça veut dire que pour chaque point p tu définis une application de TpM x TpM dans R qui aux vecteurs X(p) et Y(p) associe g(p)(X(p),Y(p)) et qui est "gentille" (cf plus haut) pour tous les vecteurs X et Y.

le "truc" en plus, c'est qu'on peut démontrer que pour toute variété différentiable gentille localement homéomorphe à R^n il existe une métrique riemannienne (= positive définie) mais pas nécessairement une métrique pseudo-riemannienne (il me semble que l'une des "explications" possibles de ça est liée au fait que sinon on aurait possibilité de trouver un champ vectoriel qui s'annule pas sur la sphère).

[martini_bird]

Merci Rincevent!

En d'autres termes, en chaque point, on a une forme quadratique définie positive (ce que j'ai déjà rencontré sous le terme "première forme fondamentale"). C'est ça?

le "truc" en plus, c'est qu'on peut démontrer que pour toute variété différentiable gentille localement homéomorphe à R^n il existe une métrique riemannienne (= positive définie) mais pas nécessairement une métrique pseudo-riemannienne.

Pseudo-riemannienne, ça veut dire quoi exactement?

Finalement, on peut trouver une métrique sur la sphère en entier ou non?

Merci encore de prendre de ton temps pour répondre à quelqu'un qui nage en géo diff!