Multiplier de Lagrange

[invitedf656c21]

Bonjoue,

je dois trouver le maximum de (x²+y²+z²)^1/2 avec comme conditions

g(x,y,z) = x²/a² + y²/b² + z²/c² - 1 = 0 et h(x,y,z)= lx+ my + nz = 0.

J'uilise le multiplieur de lagrange

et j'obtiens L(x,y,z) = (x²+y²+z²)^1/2 - lamda1g(x,y,z) - lambda2h(x,y,z).

et j'ai essayé de resoudre le systeme avec grad(L)=0 donc (L)_x=0 (L)_y=0 (L)_z=0

La methode pour le faire ne pose pas de probleme. Mais je 'narrive pas avec l'algebre et je tourne en rond depuis tres logtemps. Siq uqu'un pouvait m'aider


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[KerLannais]

Salut,

D'abord, cela revient au même de maximiser ou . Autant maximiser cette dernière quantité, cela simplifie les calculs. Tu tombe alors sur la résolution du système suivant



Les trois premières équations te permettent d'éliminer les inconnues et (tu les exprimes en fonction de ) la dernière te permet d'exprimer en fonction de (il y a deux solutions opposées, c'est nomal puisque tu voit que dans ton problème, si tu as un extremum en alors tu en as un aussi en ) et enfin, l'avant dernière te donne une équation sur qui est équivalente à une équation du second degré :

il suffit de résoudre, mais a priori ça à l'air pénible et le résultat risque d'être moche