quelques questions de topologie

[kadomatsu]

Bonjour,
en relisant mes cours de topologie, je me posais les quelques questions suivantes :

1) on sait que pour tout espace topologique (E,T) et pour toute partie A, la frontière de A est un fermé. Quelle(s) condition(s) nécessaire(s) ou suffisante(s) doit satisfaire (E,T) afin que tout fermé soit la frontière d'une certaine partie ?

2) on sait que si A est ouvert ou fermé, alors la frontière de A est d'intérieur vide. Quelle(s) condition(s) nécessaire(s) ou suffisante(s) doit satisfaire (E,T) afin que tout fermé d'intérieur vide soit la frontière d'un certain ouvert ?

Merci d'avance pour vos commentaires.
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[invite769a1844]

Bonjour,

par exemple pour la 1), si tout fermé est la frontière d'une certaine partie, alors tout fermé est d'intérieur vide.
En considérant l'adhérence d'un ouvert, on remarque alors que le seul ouvert est .
Alors nécessairement , et c'est clairement suffisant.

[kadomatsu]

Mais bien sûr (argh) !!! Merci rhomuald.

[kadomatsu]

Euh non en fait j'ai répondu trop vite, je ne comprends pas. Est-ce que tu dis en fait que toute frontière est d'intérieur vide ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Garf]

Oui, Rhomuald s'est trompé.

Pour la 1), c'est impliqué par l'existence d'une partie dense de E d'intérieur vide (par exemple, par "séparable + tout ouvert non vide est non dénombrable"). Il suffit de voir que tout fermé est l'union disjointe de sa frontière et de son intérieur. Soit F un fermé ; sous l'hypothèse "il existe une partie dense d'intérieur vide", on peut considérer la partie de E composée de la frontière de F, et de l'intersection de son intérieur avec une telle partie dense. Son adhérence est inclue dans F, et on peut montrer aisément que c'est F ; son intérieur est vide (ça peut se montrer via une disjonction de cas, selon qu'on point appartient à la frontière de F ou au reste).

Je n'ai pas réfléchi à la 2).

[kadomatsu]

Merci Garf pour ta réponse. Est-ce que tu penses qu'une autre formulation est possible en ajoutant des hypothèses supplémentaires ? Je pose cette question car j'ai vu que dans R muni de la topologie habituelle tout fermé est la frontière d'une certaine partie, et je me demandais si cette propriété pouvait découler du fait qu'on a pris une structure bien plus riche que simplement "espace topologique" puisqu'on a un Banach...

[Garf]

1) sera vraie dans n'importe quel ouvert d'un espace de Banach réel ou complexe (évident si un tel espace est séparable, demande un tout petit peu d'astuce sinon), dans n'importe quelle variété différentielle de dimension au moins 1... C'est en revanche faux s'il existe un point isolé. Je ne vois pas de caractérisation évidente, mais cette propriété requiers beaucoup moins de "structure" que "Banach" ou "variété".

Sinon, il me semble que la 2) est vraie dans n'importe quel espace topologique (un fermé d'intérieur vide est la fontière de son ouvert complémentaire, non ?).

[kadomatsu]

Ok merci pour ces précisions Garf !