Donner une base d'une s-e.v. de R^4

[ichigo01]

Salut à tous !

Voilà , dans un exercice on me donne : .
Je montre que c'est une sous espace vectoriel de ce qui n'est pas très difficile , puis on me demande d'en donner une base !

Je me pose la question comment determiner le nombre des vecteur de cette base !
Il faut donc calculer la dimension , d'après le faite que F est inclus dans et que la dimension de ce dernier est = 4 , je sais que : .
Et puis , je ne trouve qu'un moyen pour determiner dim(F) : Comme est un sous espace de lui même je peux écrire :
Ici , je me pose la question : est ce que la somme de et est égale à ? !

Est ce que quelqu'un peut m'aider à repondre à cette dernière question , et est ce que jusque là ce que j'ai écris est juste ?

Merci d'avance !
-----

[ichigo01]

Personne pour aider ? !

[Universus]

Salut,

Étant donné que dans est défini grâce à trois paramètres indépendants, . Par ailleurs,



Or, puisque , et donc

Le sous-espace vectoriel est l'ensemble des vecteurs de de la forme :



et donc

où désigne l'ensemble générateur (ou plus spécifiquement l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires) des vecteurs spécifiés ensuite.

Ces trois vecteurs étant au nombre de trois (puisqu'il y avait trois variables indépendantes) et étant clairement linéairement indépendants, ils forment une base (et même la base triviale) de et en effet.

[ichigo01]

D'abord, merci pour votre réponse !

J'ai juste une question : y a t il pas de différence entre et ??

[A voir en vidéo sur Futura]

[ichigo01]

Salut,

Étant donné que dans est défini grâce à trois paramètres indépendants, . Par ailleurs,



Or, puisque , et donc

Je me demande juste ça a abouti à quoi ?
Car d'après cette conclusion que t'as donné on aura que 0 = 0 !!

[Universus]

Peut-être, pour être franc je n'ai jamais vu auparavant la notation + entre deux ensembles, mais vu la formule apparaissant dans le premier message, j'ai interprété cela comme étant probablement l'union de deux espaces vectoriels. S'il y a erreur d'interprétation, j'espère que quelqu'un corrigera le tir. Remarque néanmoins que cette partie de mon message est complètement indépendante du reste.

Je ne comprends pas la remarque du dernier message, que veux-tu dire? Pourquoi faudrait-il que la formule sur les dimensions des espaces vectoriels apporte une quelconque information non triviale ici?

[ichigo01]

Peut-être, pour être franc je n'ai jamais vu auparavant la notation + entre deux ensembles, mais vu la formule apparaissant dans le premier message, j'ai interprété cela comme étant probablement l'union de deux espaces vectoriels. S'il y a erreur d'interprétation, j'espère que quelqu'un corrigera le tir. Remarque néanmoins que cette partie de mon message est complètement indépendante du reste.

Soit F et G deux sous espaces vectoriels d'un k-e.v E on appelle somme de F et G et on note F + G :



C'est une définition fondamentale au e.v !!!

[Universus]

Merci pour la définition. Bref, ça semble une façon d'écrire l'union de deux sous-espaces vectoriels en tenant compte de l'opération interne caractérisant du 'grand' espace vectoriel. Néanmoins, je ne comprends toujours pas ton avant-dernier message.

[ichigo01]

je crois que je t'ai mal compris car moi je voulais trouver la dimension de la base avant de la chercher ! et je vois que la relation dim (F + R^4) = ... ne mène nul part !
Bref , la méthode que tu as fais pour trouver la base est ce que c'est une cas particulier , ou il bien c'est comme qu'on doit procéder généralement ??

[ichigo01]

Ce que je veut dire c'est ne doit-on pas montrer que le système est libre puis prouver l'existence de scalaires tel que tout vecteur de F va s'écrire sous forme de combinaison linéaire des vecteurs de ce système c'est à dire que le système est générateur ?

[Universus]

Si tu as l'expression aussi précise des vecteurs constituant un espace vectoriel, alors oui ça fonctionne.