base duale

[inviteb9a01aa7]

bonjour,
si l'on considere l'espace dual d'un espace vectoriel, c'est a dire l'espace des formes lineaires definies sur cet espace, comment definit-on sa base avec le symbole de kronecher?

cordialement,
bob
-----

[Gwyddon]

Salut bobby

(mode privé : je ne t'ai pas oublié pour ton TIPE, ne t'inquiète pas... )

Si tu prends (e_i) base de E, la base duale (e_i*) vérifie :

[inviteb9a01aa7]

ok merci parce que sur internet j'avais des trucs bizarres (qui st peut-etre justes par ailleurs) du genre vecteur_dual_1=e2 vect e3 et j'avoue que je ne comprenais pas trop

enfin maintenant au moins c'est clair

([mp_on]je ne m'inquiete pas, ne t'inquiete pas
d'ailleurs j'ai trouve plein de trucs ineteressants, notamment des cours d'un prof du MIT, c'est bizarre soit dit en passant de le voir definir ds sonc cours ce qu'est l'espace dual alors qu'il parle sans complexe de metrique et de variete enfin bon...[mp_off])

[doryphore]

C'est parce qu'on peut la définr avec les produits scalaires et vectoriels...

Ainsi si , on a

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb9a01aa7]

c'est justement ca que je ne comprends pas car e1=e2 vect e3=e1* dans ce cas ?

[Quinto]

Je pense que c'est autant égal que E**=E, c'est à dire que c'est pas égal, mais que ca se comporte exactement pareil.
Notamment ici on aurait pas e2^e3=e1* puisque e2^e3 est un vecteur de E tandis que e1* est un vecteur de E*.
Cependant si tu considères:
f:=x->(e2^e3).x
alors f=e1*

[invite8f53295a]

c'est justement ca que je ne comprends pas car e1=e2 vect e3=e1* dans ce cas ?

Non, là c'est parce qu'on fait une identification abusive de V avec son dual V*.
En général si V est de dimension fini, V* a la même dimension que V, ce sont donc deux espaces vectoriels isomorphes, au sens où il existe un isomorphisme... mais il y en existe plein ! Nous n'avons aucune possibilité d'en choisir un plutôt qu'un autre et il est souvent dangereux d'identifier deux objets au moyen d'un isomorphisme choisi arbitrairement (je dis souvent, parfois ça peut être utile mais il faut alors bien préciser quels choix on a fait).

Par exemple si tu choisis une base e_1,...e_n de ton espace V, il existe une base privilégiée de V* : base duale définie par la formule donnée par 09Jul85, mais elle dépend encore du choix de la base e_1,..., e_n !

Il y a cependant un moyen souvent utilisé pour choisir un isomorphisme entre V et V*, c'est lorsque V est muni d'un produit scalaire, l'application v -> <v,.> est en effet un isomorphisme particulier (canonique on dit...), c'est le théorème de Riesz. Mais encore une fois il y a un choix, qui est caché dans ... le choix du produit scalaire !

Mais bon si on a un espace vectoriel eucildien (muni d'un produit scalaire) de dimension 3, si on fixe deux vecteurs u et v, l'application w -> det(u,v,w) est une forme linéaire, donc provient d'un vecteur d'après l'identification "canonique" entre V et V* venant du produit scalaire, on note ce vecteur u^v. Ainsi par définition
<u^v,w>=det(u,v,w) pour tout w. J'insiste encore ici car la définition du produit vectoriel dépend du choix du produit scalaire.

Il est alors facile de retrouver la formule de doryphore, dans le cas où e_1, e_2, e_3 est une base orthonormale directe.

[GrisBleu]

c'est justement ca que je ne comprends pas car e1=e2 vect e3=e1* dans ce cas ?

Salut. Je pense que le probleme avec ce genre de formule, c'est que ca confond le dual et l'ev en question. En dimension finie, ca passe encore (merci les isomorphismes). Par exemple, si ton espace est muni d'un produit scalaire, le vecteur dual (la forme dual) de , est (ca se voit assez facilement) . Donc ton vecteur dual s'ecrit facilement et passer de l'un a l'autre ca va

Mais en dimension infini, ca ne va plus du tout, car il n'y a plus d'isomorphisme. L'ev est isomorphe a un sous ev du dual et . Les formules qui "melangent" les notations deviennent un piege. L'exemple le plus connu (je crois que ca illustre bien), c'est le dirac. C'est un vecteur dual d'un certain espace de fonction, et les ingenieurs l'utilise comme une fonction alors que ca n'en est pas une !! et tu peux vite te tromper et aboutir a des absurdites. ex : n'existe pas.

Bon courage !!

[inviteb9a01aa7]

merci bcp pr vos reponses je crois que j'ai un peu mieux compris mnt

[martini_bird]

Salut,

Salut. Je pense que le probleme avec ce genre de formule, c'est que ca confond le dual et l'ev en question.
[...]
Mais en dimension infini, ca ne va plus du tout, car il n'y a plus d'isomorphisme. [/TEX].

Sauf pour certains espaces (dits réflexifs) et en particulier pour les Hilbert (ce qui est bien pratique ).

Cordialement.