Dénombrabilté des nombres premiers

[invitea51befa8]

Bonjour à tous,
Voila je travaille un peu sur les nombres premiers et je me pose alors une question:
Existe-t-il une bijection entre IN et l'ensemble des nombres premiers ( donc l'ensemble des nombres premiers est-il dénombrable ?)
-----

[Thorin]

Salut,

on peut définir une bijection par récurrence, en posant , puis, pour n quelconque, est le plus petit nombre premier strictement supérieur à .
Puisque l'ensemble des nombres premiers est infini, existe bel et bien, donc l'application f est bien définie sur N.

[Tryss]

De toute façon l'ensemble des nombres premiers est inclus dans , donc il est forcement dénombrable (ou fini).

[invitea51befa8]

Merci beaucoup pour ta réponse

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea51befa8]

De toute façon l'ensemble des nombres premiers est inclus dans , donc il est forcement dénombrable (ou fini).

L'ensemble des nombres premiers est infini, tout comme IN.

[Tryss]

Bien-sur qu'il est infini, c'était pour faire remarquer que n'importe quelle partie d'un ensemble dénombrable est soit dénombrable soit finie

[invitea51befa8]

D'accords désolé j'avais mal compris ^^. Merci à vous deux

[invitedb2255b0]

Tiens, j'en profite pour poser ma p'tit question:

Pour qu'un ensemble soit dénombrable, doit-il nécessairement être en bijection avec N, où une injection suffit-elle ?

[invitec7c23c92]

Si on sait qu'il est infini, alors une injection suffit.
Les propriétés suivantes sont équivalentes :

(1) E est en bijection avec N.
(2) E est infini et s'injecte dans N.
(3) E est infini et N se surjecte sur E.

[beloboy]

Bonjour à tous,
Voila je travaille un peu sur les nombres premiers et je me pose alors une question:
Existe-t-il une bijection entre IN et l'ensemble des nombres premiers ( donc l'ensemble des nombres premiers est-il dénombrable ?)

l'ensemble des nombres premiers est dénombrable car il est inclue dans N qui est dénombrable

[invite986312212]

l'ensemble des nombres premiers est dénombrable car il est inclue dans N qui est dénombrable

si tu veux démontrer cela (qu'une partie infinie de N est dénombrable) tu es bien obligé de tenir un raisonnement dans l'esprit de celui de Thorin.

[Thorin]

si tu veux démontrer cela (qu'une partie infinie de N est dénombrable) tu es bien obligé de tenir un raisonnement dans l'esprit de celui de Thorin.

D'ailleurs, c'est exactement le même, en remplaçant le mot "premier" par "de la partie", et "2" par "plus petit élément de la partie"