Problèmes de formules sur les polynômes (superieur 1er annee)

[invitecb703b17]

Bonjour a tous ,

J'ai un souci dans le chapitre sur les polynomes.
Il y a une section sur les relations entre les coefficients et les racines dans les polynomes scindés.

J'ai aussi une formule de generalisation des sommes des produits des racines d'un polynomes.
Ensuite dans le chapitre, j'ai un exemple de calcul sur la sommes des carrés des racines d'un polynomes scindés.

voir ci dessous.



Mon probleme est dans le debut du calcul, je ne sais pas comment on obtient que la somme des carres des racines ca fait le carre de la somme des racines -2 somme du produit des racines deux a deux.

Dans un exercice dans le meme chapitre on me demande de calculer le carre des racines d'un polynomes mais aussi le cube et la puissance 4,1/2 ... et je ne sais pas du tout comment savoir le calcul intermediare , par exemple que la somme des cubes des racines serait egale au cube de la sommes des racines - 3 sommes ....

Y a t-il une generalisation de la formule pour n'importe quelle puissance des racines du polynomes ou existe t-il un moyen de le retrouver grace a d'autre formules ou encore pouvez vous m'indiquez un calcul intermediaire ...

merci d'avance.

jean
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[ansset]

Mon probleme est dans le debut du calcul, je ne sais pas comment on obtient que la somme des carres des racines ca fait le carre de la somme des racines -2 somme du produit des racines deux a deux.

bonjour celà n'a rien à voir avec le fait que ce soit des racines ou pas.
il s'agit simplement du developpement de :
(x1+x2+x3+...xn)², avec x1<x2<x3 ...

[KerLannais]

Salut,

Il y a un théorème de décomposition des polynômes symétriques en polynômes symétriques élémentaires. La seule référence que j'ai trouvée sur internet est

http://en.wikipedia.org/wiki/Fundame...ic_polynomials

mais c'est peut-être pas très facile à lire. La méthode est générale pour les polynômes symétriques, dans le cas particulier des sommes de puissances des racines il s'agit des identités de Newton:

http://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_identities

par contre pour les sommes de puissances 1/2 je ne sais pas, il doit falloir ruser

[Médiat]

Bonjour,

Mon probleme est dans le debut du calcul, je ne sais pas comment on obtient que la somme des carres des racines ca fait le carre de la somme des racines -2 somme du produit des racines deux a deux.

Y a t-il une generalisation de la formule pour n'importe quelle puissance des racines du polynomes ou existe t-il un moyen de le retrouver grace a d'autre formules ou encore pouvez vous m'indiquez un calcul intermediaire ...

Pour le carré, il s'agit d'une généralisation de l'identité remarquable bien connu :
(a + b)² = a² + b² + 2ab
Pour calculer (x₁ + x₂ + ... + x_n)², il faut faire toutes les multiplications d'un x_i par un x_j, et soit i = j, et on obtient les carrés, soit i != j et on obtient x_ix_j + x_jx_i.

Même chose pour toutes les puissances entières ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecb703b17]

Merci à tous , j'ai compris avec toutes vos explications et en plus toutes différentes donc trés informatives.
J'ai fait un test en calculant (x1+x2+x3)²(x1+x2+x3) car je la connait pas par coeur et je suis tro lent avec le binome de newton.
Mais au bout j'arrive bien a trouver une relation de la forme somme de chaque racine au cube +6 somme de la somme des trois racines +3...
Et ca colle bien avec le corrige, pour les puissance <1 ,j'essayerai demain, fo pas tro en faire le même jour

Merci encore en tout cas.

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