Réciproque générale

[nicozeyo]

Bonjour,

j'aimerais savoir pour toute fonction de la forme:

ax²+bx+c (polynôme du second degré)

la forme de sa réciproque en généralisant ( en utilisant les lettres a, b et c, et non pas des nombre)

Je poste cette question je le précise, car j'ai essayé et je n'y arrive, pourtant je suis sûr que c'est super simple, comme quoi j'ai une araignée au plafond.

Bon voila, merci de votre réponse.
-----

[Thorin]

Salut, une telle fonction n'est pas bijective.

Si tu veux toute fois exprimer les antécédents d'un réel, il faut tout simplement résoudre l'équation ax²+bx+c=y, en x, à y fixé.

[hhh86]

Ta fonction est bijective sur 2 intervalles distincts puisqu'elle est continue et dérivable sur IR et que sa dérivée est x |-->2ax+b donc elle sera strictement croissante et strictement décroissante sur 2 intervalles distincts en fonctions de a et de b

[nicozeyo]

Ta fonction est bijective sur 2 intervalles distincts puisqu'elle est continue et dérivable sur IR et que sa dérivée est x |-->2ax+b donc elle sera strictement croissante et strictement décroissante sur 2 intervalles distincts en fonctions de a et de b

Je prenait en compte la parfaite impossibilité d'avoir la forme réciproque du côté des négatifs, mais une réciproque marcherait du côté des positifs? Non si je m'abuse !

Merci pour vos réponses.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ericcc]

Je prenait en compte la parfaite impossibilité d'avoir la forme réciproque du côté des négatifs, mais une réciproque marcherait du côté des positifs? Non si je m'abuse !

Merci pour vos réponses.

Je crois que tu cherches la fameuse formule

x=-b+/-rac(b²-4ac)/2a, que tous les collégiens connaissaient il y a 30 ans !

[inviteba7208f8]

Bonjour,

j'ai étudié seul la problématique du calcul de la réciproque d'une fonction et j'ai trouvé une expression qui donne les points de l'abscisse x de la fonction f(x) = xH(x) + C en fonction de l'ordonnée y.

Elle est très complexe à produire mais intuitivement, elle semble correcte:
Elle s'écrit :
où x₀ est l'abscisse d'un point sur la courbe de f et p est le point d'ordonnée dont on cherche l'abscisse.

Tu remarqueras qu'il y a des . Cela signifie que la formule est exprimée à ces signes près. Ces signes se distinguent selon le signe de , de et de

Dans la situation que j'explique ici, H(x) est la fonction identité . Mais elle pourrait être . Mais dans ce cas, c'est une autre formule encore plus compliquée...D'où pour simplifier, tu peux appliquer cette méthode à toutes les fonctions

A partir du point x₀, si tu souhaites chercher l'abscisse d'un point avec une ordonnée p donnée, il te faut considérer les signes des valeurs suivantes:

• Selon que tu souhaites l'abscisse à gauche ou à droite du point
• Selon le signe de
• Selon le signe de
• Selon le signe de

Par exemple, si tu souhaites calculer l'abcisse du point d'ordonnée 4, sur la courbe f(x) = x² - 2, il te faut choisir d'abord un point . Choisis par exemple
Alors:

1. 
2. 

Dans ce cas, et d'après des exemples empiriques, la formule s'écrira alors :


Il ne te reste plus qu'à appliquer la formule avec p=4 et x₀ = 1 :


Un petit coup de test pour vérifier:


Le tour est joué !

Tu peux appliquer une autre de valeur de p. Par exemple : p=3


Un petit coup de test pour vérifier:


Remarque : Si un point d'ordonnée p n'a pas d'image dans l'espace des abscisses, alors tu ne pourras pas calculer la formule car la racine carrée sera négative

[nicozeyo]

Bonjour,

j'ai étudié seul la problématique du calcul de la réciproque d'une fonction et j'ai trouvé une expression qui donne les points de l'abscisse x de la fonction f(x) = xH(x) + C en fonction de l'ordonnée y.

Elle est très complexe à produire mais intuitivement, elle semble correcte:
Elle s'écrit :
où x₀ est l'abscisse d'un point sur la courbe de f et p est le point d'ordonnée dont on cherche l'abscisse.

Tu remarqueras qu'il y a des . Cela signifie que la formule est exprimée à ces signes près. Ces signes se distinguent selon le signe de , de et de

Dans la situation que j'explique ici, H(x) est la fonction identité . Mais elle pourrait être . Mais dans ce cas, c'est une autre formule encore plus compliquée...D'où pour simplifier, tu peux appliquer cette méthode à toutes les fonctions

A partir du point x₀, si tu souhaites chercher l'abscisse d'un point avec une ordonnée p donnée, il te faut considérer les signes des valeurs suivantes:

• Selon que tu souhaites l'abscisse à gauche ou à droite du point
• Selon le signe de
• Selon le signe de
• Selon le signe de

Par exemple, si tu souhaites calculer l'abcisse du point d'ordonnée 4, sur la courbe f(x) = x² - 2, il te faut choisir d'abord un point . Choisis par exemple
Alors:

1. 
2. 

Dans ce cas, et d'après des exemples empiriques, la formule s'écrira alors :


Il ne te reste plus qu'à appliquer la formule avec p=4 et x₀ = 1 :


Un petit coup de test pour vérifier:


Le tour est joué !

Tu peux appliquer une autre de valeur de p. Par exemple : p=3


Un petit coup de test pour vérifier:


Remarque : Si un point d'ordonnée p n'a pas d'image dans l'espace des abscisses, alors tu ne pourras pas calculer la formule car la racine carrée sera négative

Re,
Je ne pensais que le problème serait si compliqué ... Mais cela ne répond pas vraiment à la question de départ ...
Sur ce au revoir.

[silk78]

Hmm, ta question n'est en fait pas si compliqué que ça, mais pose des problèmes d'ensembles : en effet on ne peut prendre la réciproque d'une fonction que sur un intervalle où celle-ci est bijective.

Dans notre cas f: x -> ax²+bx+c est bijective si on la considère sur I_-=]-infini;-b/2a] ou sur I₊=[-b/2a;+infini[.
On notera f_- la restriction de sur I_- et de même f₊ la restriction de f sur I₊ (dis moi si le terme de restrictions ne vous évoque rien).

Dans les deux cas trouver la réciproque revient à la même chose, résoudre l'équation ax²+bx+c=y d'inconnue x.
On fait alors appel à nos cours d'algèbre de collège et à la célèbre formule que mentionnait ericcc :
On pose le discriminant de cette équation.

Logiquement on devrait maintenant prouver que ce discriminant est positif mais étant donné que l'on s'intéressera ensuite qu'à des valeurs de y atteintes pas la fonction f quand x est réel, on pourra être sur que x existe et que donc le discriminant est positif (je ne suis pas sur d'être très clair ici, faudra me dire si ça va).

On a alors :


Or g_-(y) donne clairement des valeurs inférieures à -b/2a et donc dans I_- et de même g₊(y) donne des valeurs dans I₊.

La réciproque de f est donc :
- sur I_-
- sur I₊

Voilà, j'espère que ça aide.
Silk

[nicozeyo]

En fait je réexplique le problème ( ne prenez pas ça comme une offense, mais c'est que les résultats ne ressemblent pas du tout à ce que j'imaginais ).

j'ai ma fonction f(x)=x² sa réciproque sur [0;+inf] est r(x)=racine(x)

je demande une généralisation c'est à dire complétez cette phrase:

j'ai ma fonction f(x)=ax²+bx+c sa réciproque [0;+inf] est r(x)= ????

Bien évidemment ne vous occuper pas des négatifs, cela nous ferait pénétrer dans les complexes.

[silk78]

Deux problèmes se posent.

Le premier est en fait pas trop problématique : rien ne te dit que ta réciproque serait définie sur [0;+inf].
Si on prend l'exemple assez simple de f(x)=x²+1, alors tu n'as pas de réciproque sur [0;+inf] car par exemple la valeur 0 n'est jamais atteinte par la fonction f (du moins pour x dans R, sinon, on peut en effet passer au complexe).
Ici, je peux te balancer le résultat, notre fonction réciproque sera définie sur [c-b²/4a;+inf[ si a est positif et ]-inf;c-b²/4a] si a est négatif. On notera par la suite cette intervalle J.

Le deuxième problème, un peu plus dur à comprendre peut-être, c'est que ta fonction f(x) va prendre la même valeur plusieurs fois (deux fois en fait). Si on prend par exemple la fonction toute simple f(x)=x²-x. On a f(0)=0 et f(1)=0 donc si tu notes r ta réciproque, que vaudrais r(0), 0 ou 1 ?
Il faut donc que notre fonction prennent une seule fois chaque valeur (on appelle cette propriété la bijectivité). En fait ici, on peut le faire assez facilement et c'est ce que je disais avec mes histoires d'intervalle : notre fonction décrit une parabole, et donc de chaque côté de la parabole, notre fonction prend chaque valeur une seule fois (tu vois ce que je veux dire ou pas ?). Le sommet de la parabole est atteint pour x=-b/2a. Donc on peut définir une réciproque sur ]-inf;-b/2a] et sur [-b/2a;+inf[.

Après, c'est ce que je disais, la réciproque de f sur le premier intervalle c'est la fonction r définie sur J par et la réciproque sur le deuxième intervalle est la fonction r définie sur J par .

Ca peut paraître un peu compliqué par rapport à une simple racine de x, mais je t'assures qu'on parle bien de la même chose

Silk