valeurs et vecteurs propres d'une matrice

[Aoun88]

Bonsoir,

Je débute en algèbre linéaire, et j'ai un souci concernant les valeurs et vecteurs propres d'une matrice! Je pense savoir trouver les valeurs propres d'une matrice d'ordre 2 mais pas d'ordre 3, car je me retrouve avec un polynôme de degré 3 à résoudre! Je suis un peu perdue, comment fait-on pour trouver les solutions?

Et je ne connais rien des vecteurs propres; je recherche un peu partout des explications sur internet mais j'ai du mal à trouver quelque chose qui me parle! Est-ce que quelqu'un peut m'aider à comprendre concrètement, avec une matrice d'ordre 3? Merci beaucoup
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[God's Breath]

je me retrouve avec un polynôme de degré 3 à résoudre! Je suis un peu perdue, comment fait-on pour trouver les solutions?

Bonjour,

Pour une matrice d'ordre , on obtient les valeurs propres comme solutions d'une équation de degré et, sauf cas particulier, on ne peut pas les calculer explicitement.

Toutefois, dans les exercices, on est toujours dans le cas particulier, et l'équation admet une racine évidente qui permet la résolution.

[Aoun88]

Heu... est-ce que je pourrai avoir une démonstration? Par exemple avec cette matrice :
( 7 0 -2)
(0 5 0)
(-2 0 4)
J'ai trouvé cet exemple dans une autre discussion de FS et la personne semblait avoir trouvé plusieurs valeurs propres, mais sans expliquer comment...
et sinon comment trouver les vecteurs propres?

[God's Breath]

Il suffit de regarder la deuxième colonne de la matrice pour voir que 5 est valeur propre et que est un vecteur propre associé.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Aoun88]

Oui en effet je vois que c'est une solution à mon polynôme de degré 3, j'avais trouvé -X³+ 7X²-22X+60= 0, et ça marche. Mais ce n'est pas l'unique solution, non?
Je crois que je vais faire des recherches plus poussées sur ce que sont les vecteurs propres...

[God's Breath]

Mais ce n'est pas l'unique solution, non?

Lorsque l'on sait que 5 est racine de , il suffit de mettre en facteurs, et on n'a plus qu'une équation du second degré à résoudre.

[God's Breath]

j'avais trouvé -X³+ 7X²-22X+60

Il me semble que ce n'est pas la bonne équation, ce devrait être de la forme .

[Aoun88]

En fait c'est -X³+16X²-79X+120 . J'ai fait une bêtise à la base, j'espère que cette forme est bien la bonne!
Sinon, pour mettre X-5 en facteur, il faut que j'y réfléchisse un peu plus. C'est un peu dur étant donné que je ne fais pas beaucoup de maths depuis l'obtention du bac! Mais c'est déjà un avancement, donc merci beaucoup