dérivée directionnelle

[titi07]

bonsoir à tous ;
j'ai une question à vous poser :
si on suppose que ; et
demontrer que :
si F est différentiable et si sont non nulles
Merci de me donner quelques indications
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[titi07]

bonsoir; une petite indication S.V.P

[Simontheb]

Considère F successivement comme une fonction de x et y, de y et z, de x et z. Pour chaque cas exprime les dérivées partielles de la variable dépendante par rapport aux variables indépendantes. Et il n'y a plus qu'à conclure.

(tu es dans Analyse, Concepts et Contextes, non?)

[titi07]

bonsoir; merci pour l'indication je vais essayer de la travailler et c'est vrai c'est le livre Analyse,concepts et contextes

[A voir en vidéo sur Futura]

[Simontheb]

Excellent ce bouquin, je suis moi-même dessus en ce moment.

[titi07]

bonjour; je n' ai pas pu aboutir au résultat, d'autres indications S.V.P

[Simontheb]

Prenons le cas de .

Il te faut considérer F comme une fonction de x et de y, z étant une variable intermédiaire indépendante. Tu sais que, si z était indépendante de x, une petite variation de x provoquerait une petite variation de F avec un coefficient de proportionnalité . C'est la "variation directe" due à x.

Maintenant comme F ne doit pas varier, z doit nécessairement être dépendant de x, et une petite variation de x provoque une petite variation de z, le coefficient de proportionnalité étant . Et comme F est une fonction de z, cette petite variation de z provoque à son tour une petite variation de F, le coefficient de proportionnalité étant . Au final, la petite variation de x aura provoqué une "variation indirecte" de F, le coefficient de proportionnalité étant logiquement .

Si donc on ajoute la "variation indirecte" et la "variation indirecte", on obtient la variation totale de F provoquée par la variation de x, le coefficient de proportionnalité étant . Mais que vaut la variation totale de F si x varie?

Avec ça, tu dois pouvoir conclure et exprimer en fonction de dérivées connues. En procédant de la même manière pour y et z, tu arriveras au résultat.