Bonjour, cliquez-ici pour vous inscrire et participer au forum.
  • Login:



+ Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 13 sur 13

complexe, nombre premier et suite de nombres réels

  1. Bartolomeo

    Date d'inscription
    avril 2009
    Messages
    321

    complexe, nombre premier et suite de nombres réels

    Je vois pas comment débuter ici:


    Soit p un nombre premier et une suite de nombres réels avec:
    _
    _
    _

    montrer les propositions suivantes:

    1) soit , les valeurs propres de la matrice . Avec on obtient:
    .

    2) La suite a un changement de signe infini, il existe donc une suite strictement monotone croissante
    avec positif pour impair et négatif pour pair.

    Cordialement.
    Bart

    -----

     


    • Publicité



  2. Ksilver

    Date d'inscription
    novembre 2005
    Âge
    30
    Messages
    1 888

    Re : complexe, nombre premier et suite de nombres réels

    Salut !


    la premiére égalité de (1) ce prouve très facilement par récurence (sur deux termes evidement)

    pour la deuxième, lambda1=Rexp(i.Phi)
    lambda2=Rexp(-iPhi) (car le discriminant de l'equation dont sont solution lambda1 et 2 est négatif) et tu utilise les formule d'Euler pour faire apparaitre les sinus.

    la (2) est assez evident une fois que la 1 est fini.
     

  3. breukin

    Date d'inscription
    juin 2006
    Localisation
    Grenoble
    Messages
    1 603

    Re : complexe, nombre premier et suite de nombres réels

    Concernant les notations, n'aurait-il pas mieux valu écrire :
    Soit une suite de nombres réels vérifiant :

    est un nombre premier
    pour tout
     

  4. Bartolomeo

    Date d'inscription
    avril 2009
    Messages
    321

    Re : complexe, nombre premier et suite de nombres réels

    Citation Envoyé par Ksilver Voir le message
    Salut !


    la premiére égalité de (1) ce prouve très facilement par récurence (sur deux termes evidement)

    pour la deuxième, lambda1=Rexp(i.Phi)
    lambda2=Rexp(-iPhi) (car le discriminant de l'equation dont sont solution lambda1 et 2 est négatif) et tu utilise les formule d'Euler pour faire apparaitre les sinus.

    la (2) est assez evident une fois que la 1 est fini.
    Pour la premiére égalité de (1):
    pour r=0



    pour r=1


    Je suis un peu bloqué ici. Dois je supposer la 2ème égalité vrai pour avancer?

    lambda1=Rexp(i.Phi)
    lambda2=Rexp(-iPhi) (car le discriminant de l'equation dont sont solution lambda1 et 2 est négatif)
    Je ne comprends pas bien pourquoi. C´est un théorème?

    Citation Envoyé par breukin Voir le message
    Concernant les notations, n'aurait-il pas mieux valu écrire :
    Soit une suite de nombres réels vérifiant :

    est un nombre premier
    pour tout
    Ce n´est pas clair sur le bouquin non plus. Sur le bouquin c´est . Alors est ce une faute de frappe, le produit par 2 ou bien la racine carrée double...
     

  5. Ksilver

    Date d'inscription
    novembre 2005
    Âge
    30
    Messages
    1 888

    Re : complexe, nombre premier et suite de nombres réels

    "Dois je supposer la 2ème égalité vrai pour avancer?" non, tu dois la prouver...

    l1²-l2²=(l1-l2)(l1+l2)

    et l1+l2=a(p) car c'est la trace de la matrice.

    "Je ne comprends pas bien pourquoi. C´est un théorème? " >>> vu en terminal : quand le discriminant d'une equation est négatif, ses racines sont des nombres complexe conjugué... et le conjugué de Rexp(i.phi) c'est R exp(-i.Phi)

    "Ce n´est pas clair sur le bouquin non plus. Sur le bouqui...." >>> la condition est |ap| < 2 * sqrt(p)
    (c'est la condition qui marche bien pour avoir un discriminant négatif...)




    Concernant les notations, n'aurait-il pas mieux valu écrire >>> en effet, mais j'imagine que l'exercice s'insère dans un problème plus large parlant de dévelopements eulérien... grâce à la formule de récurrence (si elle est vrai pour tous nombre premier p) on va avoir une relation du genre :

    somme des a_n/n^s = produit sur p premier de 1/(1-ap*p^(-s)+p^(1-2s))

    et la condition |ap|<2sqrt(p) est ce qu'on peut appeler l'hypothèse de riemann local.
    Dernière modification par Ksilver ; 12/05/2010 à 19h00.
     


    • Publicité



  6. Bartolomeo

    Date d'inscription
    avril 2009
    Messages
    321

    Re : complexe, nombre premier et suite de nombres réels

    en supposant l´égalité vrai pour n, comment puis-je la montrer pour n+1 sans m´emméler les pinceaux?
     

  7. Bartolomeo

    Date d'inscription
    avril 2009
    Messages
    321

    Re : complexe, nombre premier et suite de nombres réels

    Citation Envoyé par Ksilver Voir le message

    la (2) est assez evident une fois que la 1 est fini.
    euh? non pas vraiment pour moi...
     

  8. Ksilver

    Date d'inscription
    novembre 2005
    Âge
    30
    Messages
    1 888

    Re : complexe, nombre premier et suite de nombres réels

    Ba il faut la supposer pour n et (n-1) et injecter tous ca dans la relation de récurence pour le prouver pour exprimer a(P^n+1) en fonction de a(p^n) et a(p^n-1), après faut jouer un peu avec le fait que lambda1 et lambda2 sont racine du bon polynome, qui "par chance" est exactement celui qui apparait quand on applique la relation de récurence... donc tu factorise lambda1^(n-1) et lambda2^(n-1) là ou il peuve l'être, et dans ce qu'il reste tu vois apparaitre le polynome de lambda1 et 2 (enfin les deux premier terme et tu les remplaces pour le 3e pour obtenir l'expression de a(p^n+1).


    pour la (2) maintenant que tu as une expression de a(p^n) il n'est pas très dur d'en étudier le signe et de montrer qu'il change une infinité de fois !! (quand à l'histoire de l'extraction c'est quasiement la définition de changer de signe une infinité de fois)
     

  9. Bartolomeo

    Date d'inscription
    avril 2009
    Messages
    321

    Re : complexe, nombre premier et suite de nombres réels

    Citation Envoyé par Ksilver Voir le message
    après faut jouer un peu avec le fait que lambda1 et lambda2 sont racine du bon polynome, qui "par chance" est exactement celui qui apparait quand on applique la relation de récurence... donc tu factorise lambda1^(n-1) et lambda2^(n-1) là ou il peuve l'être, et dans ce qu'il reste tu vois apparaitre le polynome de lambda1 et 2 (enfin les deux premier terme et tu les remplaces pour le 3e pour obtenir l'expression de a(p^n+1).
    qu´est ce que tu entends par le bon polynome?
     

  10. Bartolomeo

    Date d'inscription
    avril 2009
    Messages
    321

    Re : complexe, nombre premier et suite de nombres réels

    Citation Envoyé par Bartolomeo Voir le message
    qu´est ce que tu entends par le bon polynome?
    C´est réglé! ben mince alors quel trifouillage! Je ne vois pas trop ce que je dois retenir de cet exercice, sinon qu´il me faut plus d´entrainement pour résoudre les exos plus rapidement.

    Merci pour ton aide!
     

  11. Ksilver

    Date d'inscription
    novembre 2005
    Âge
    30
    Messages
    1 888

    Re : complexe, nombre premier et suite de nombres réels

    "Je ne vois pas trop ce que je dois retenir de cet exercice" >>> ce que tu peux en retenir, c'est que quand on a une suite récurence de la forme : U(n+2) = aU(n+1)+bU(n) (ce que tu avais ici)

    alors U(n) = k1.(a1)^n +k2.(a2)^n

    où k1 et k2 sont des constante à déterminer à partir des deux premiers termes et a1 et a2 sont les racines du polynome x²-ax-b.

    ca ce prouve par récurence : l'initialisation ce fait parcequ'on à choisit les bonnes valeurs de k1 et k2, et la récurence ce fait exactement comme ce que tu viens de faire !
     

  12. Bartolomeo

    Date d'inscription
    avril 2009
    Messages
    321

    Re : complexe, nombre premier et suite de nombres réels

    C´est plus clair maintenant!


    pour la (2) maintenant que tu as une expression de a(p^n) il n'est pas très dur d'en étudier le signe et de montrer qu'il change une infinité de fois !! (quand à l'histoire de l'extraction c'est quasiement la définition de changer de signe une infinité de fois)
    De mon de point de vu avec mon (pour le moment) faible niveau, cela ne me parait pas si simple. L´étude du signe de en fonction de r ne m´aide pas vraiment.
     

  13. Ksilver

    Date d'inscription
    novembre 2005
    Âge
    30
    Messages
    1 888

    Re : complexe, nombre premier et suite de nombres réels

    j'ai dit "une fois qu'on a fait la question (1) "

    il faut que tu utilise que a(p^r) =R^r Sin(((r+1)Phi))/sin(Phi)


    qui est du signe de sin((r+1 )Phi) qui va effectivement changer de signe une infinité de fois...
     


    • Publicité




 

Discussions similaires

  1. Factorisation d un nombre premier sous la forme P=(x-1)(y-1) (x,y deux nombres premiers)
    Par toutankhamon dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 6
    Dernier message: 10/12/2008, 12h57
  2. nombre premier et suite de thue-morse
    Par kondor dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 1
    Dernier message: 19/06/2008, 17h59
  3. nombres réels !
    Par nassoufa_02 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 4
    Dernier message: 04/10/2006, 21h53
  4. Nombres Reels--Exercices.
    Par Sarah2006 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 3
    Dernier message: 30/12/2005, 18h25
  5. Les nombres réels
    Par lealea dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 5
    Dernier message: 11/05/2005, 23h41