Application linéaire surjective, injective

[paslabossedesmath]

Bonjour. Je suis toute nouvelle sur ce site et je vous avoue que j'ai grandement besoin d'aide
Je planche depuis un (trop) long moment sur des problèmes de math mais je n'avance pas d'un pouce.

Soit f l'application linéaire de R dans R définie par :
f(x,y,z)=(x-y,2x+3z,x-z)
Cette application est elle surjective ? injective ?

Merci d'avance pour votre aide
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[God's Breath]

Commence par déterminer le noyau de cette application linéaire.

[paslabossedesmath]

je ne suis vraiment pas sûr de moi mais pour le noyau il faut poser :
x-y=0
2x+3z=0
x-z=0

est-ce que je suis déjà complètement à coté de la plaque ?

[Murzabov]

Tu es sur la bonne voie pour trouver le noyau de f.

ce noyau, Ker(f), a quelle propriété bien utile ?

Au fait juste en passant : f est une application linéaire de quel espace vectoriel vers quel espace vectoriel ? Quelle est leur dimension respective ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2bc7eda7]

Commence par déterminer le noyau de cette application linéaire.

Si tu détermines l'image d'abord, tu feras qu'une seule fois le travail en prenant après comme second membre le triplet (0,0,0)...

Bonne soirée,

Mystérieux1

[paslabossedesmath]

oulala. J'ai essayé d'avancer pendant des heures mais il me semble que je fais du "sur place". Pour déterminer le noyau on doit utiliser la loi de "Gauss" si je ne me trompe. Alors :

x-y=0
2x+3z=0
x-z=0

donc on fait : ligne num2 - 2x ligne num3

x-y=0
(5)z=0
x-z=0

Ensuite : ligne num3 - (-1x)ligne num2

x-y=0 y=0
z=0 z=0
x=0 x=0

Est-ce que ça à l'air correct selon vous ?

Donc si (0,0,0) l'application est "bijective"... Mais est-elle injective ou surjective ? Désolée je sèche complètement

[invite9007c969]

d'abord on peut remarquer que l'application est endomorphisme de R3 a R3 donc s'elle est injective ou surjective donc elle est bijective

[invite9007c969]

[invitebe0cd90e]

Attention, Abdel, deja ca n'est pas corect d'ecrire qu'un rang est "egal" a une matrice, ensuite dans ton calcul les matrices ne sont pas egales !!! tu effectues des operations qui donnent des matrices différentes mais qui ont même rang, c'est cette propriété qui est interressante. Mais elles ne sont evidemment pas egales !

[invitebe0cd90e]

paslabossedesmath> Oui, ca a l'air correct. Ce que tu as fait, c'est prouver que la seule solution de l'equation est le vecteur .

Par definition du noyau, cela revient à dire que le noyau de f est l'espace vectoriel nul, cad qu'il est réduit à .

Ensuite tu vas un peu vite en besogne. Deja, pour rappel, la definition de bijective c'est effectivement "injective + surjective". Ensuite, prouver que le noyau est nul, ca prouve que la fonction est injective, mais pas forcement bijective donc tu ne peux pas conclure comme ca. Mais ! Tu as le théorème suivant, qui est une conséquence du théorème du rang:

Si est une application linéaire entre deux espace vectoriels de même dimension, alors :
- si elle est injective elle est forcement surjective
- si elle est surjective, elle est forcement aussi injective

Notes bien que ca n'est pas vrai en général, il faut vraiment que l'espace de depart et d'arrivée aie la meme dimension (finie evidemment). Mais dans ce cas la, il suffit qu'elle soit injective OU surjective, pour qu'elle soit bijective.

Donc, comme tu as prouvé que est injective, en vertu de ce théorème elle donc bijective.

J'espere que c'est plus clair comme ca.

[paslabossedesmath]

Merci mais il y a juste une chose que je ne comprends pas très bien. C'est le passage des matrices avec la méthode de Gauss :

1 -1 0 1 -1 0
2 0 3 = 0 2 3
1 0 -1 0 1 1 (là je ne comprends pas (-1 en 3?))

[paslabossedesmath]

je reprends pour les matrices

1 -1 0
2 0 3 =
1 0 -1
=
1 -1 0
0 2 3
0 1 1 (là je ne comprends pas (c'est pas -1 en 3ème position?))

[invitebe0cd90e]

Paslabossedesmaths> Sans vouloir me faire de pubs, tu devrais lire mes deux derniers messages