Bonjour! J'ai des difficultés sur un exercice sur les endomorphismes antisymétriques.
Alors je dois montrer par récurrence sur n que pour tout endomorphisme antisymétrique u de E, il existe une bon ds laquelle la matrice de u soit de la forme (par blocs) d'une matrice avec sur la diagonale A(a1)..A(ar)...0, où a1,..ar des réels avec
A(a)= (0 -a)
(a 0)

La proposition est vraie pour n=1 et n=2
Pour n+1, j'ai montré que tout endomorphisme antisymétrique u a au moins une valeur propre v imaginaire.
1) On me demande d'en déduire une sev réel de E, noté F, de dimension au moins 1 et stable par u.
2) Que dire de u restreint à F et u restreint à F
Montrer la propriété au rang n+1

Je pensais prendre F= sous espace propre de v, mais ensuite je bloque sur la récurrence.
En effet je distingue les cas E=F et E<>F (Pour que utiliser dans le cas E<>F, dim F<n+1 et appliquer l'hypothèse récurrence sur F orthogonal)
Or pour E=F, u=v.Id donc on n'a pas le résultat voulu.

Merci d'avance pour votre aide