Question un tantinet philosophique...

[Scapike]

Bonjour à tous!

Alors j'ai une question assez globale à poser, qui relève plus de la curiosité, qui concerne les mathématiques de façon générale. On est bien d'accord qu'entre 1 et 2, il y a une infinité de valeurs dans IR (par exemple 1,01 ou alors 1,9776435787645356, etc). Sous cette hypothèse, on peut pas dire qu'après un nombre x inclus dans l'intervalle [a,b], on a le nombre (x + dx) (lui aussi inclus dans [a,b]) étant donné qu'entre x et (x+dx), avec dx aussi petit qu'on veuille, il y a une infinité de valeurs.
Dans les Elements d'Euclide, il est indiqué dans les définitions que le tout est plus grand que sa partie. Mais l'intervalle [a,b] est aussi grand que l'intervalle ]-infini,+infini[ étant donné que dans chacun des deux intervalles il y a le même nombre de valeurs, à savoir une infinité... Toujours sous cette hypothèse, on prend une fonction f. On a f(a) = b et f(c) = d, avec a < c. (a,b,c,d) € IR^4. Si il existe une infinité de valeurs enter c et d, on ne peut pas "passer de c à d" étant donné que ces deux valeurs sont séparées par une infinité de valeurs... Comprenez-vous l'objet de la réflexion?

J'espère que j'ai été assez clair (même si j'en doute fort! Je n'ai que le niveau terminale en maths).
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[invitec1ddcf27]

La question est assez claire... elle a perturbé beaucoup de mathématiciens au 19eme siècle. C'est le même genre de truc contre-intuitif que l'inclusion de l'ensemble des entiers pairs dans Z !

Pour comprendre (et non intuiter), il faut avoir recours à des rudiments de théorie des ensembles (notion de bijection) et oublier les phrases intuitionnistes de style de celle d'Euclide !

[Scapike]

Bah moi aussi ça me perturbe pas mal! Et ma prof de maths m'avait pas répondu l'an dernier quand je lui avais posé la question! Il y aurait une version d'explication de la théorie des ensembles intelligible pour un mathématicien de terminale qui permettrait de répondre à la question (je suis un peu curieux)?

[Médiat]

Bonjour

Alors j'ai une question assez globale à poser, qui relève plus de la curiosité, qui concerne les mathématiques de façon générale. On est bien d'accord qu'entre 1 et 2, il y a une infinité de valeurs dans IR (par exemple 1,01 ou alors 1,9776435787645356, etc). Sous cette hypothèse, on peut pas dire qu'après un nombre x inclus dans l'intervalle [a,b], on a le nombre (x + dx) (lui aussi inclus dans [a,b]) étant donné qu'entre x et (x+dx), avec dx aussi petit qu'on veuille, il y a une infinité de valeurs.

Oui, cette propriété s'appelle la densité de la relation d'ordre (naturelle) sur , on aurait le même résultat avec dont la relation d'ordre est dense elle aussi.

Dans les Elements d'Euclide, il est indiqué dans les définitions que le tout est plus grand que sa partie.

Oui, mais sans donner explicitement la définition de "plus grand", donc cette remarque n'a pas de valeur axiomatique.

Mais l'intervalle [a,b] est aussi grand que l'intervalle ]-infini,+infini[ étant donné que dans chacun des deux intervalles il y a le même nombre de valeurs, à savoir une infinité...

Une imprécision de taille, et un abus de langage :
1) Qu'appelez-vous le nombre d'éléments (d'un ensemble) ? Cette notion se définit facilement pour les ensembles finis, ce qui n'est pas le cas ici, il s'agit donc d'un dangereux abus de langage.
2) Quand vous dîtes "infinité", c'est trop imprécis, par exemple, suivant que vous poserez la question précédente à propos des réels ou des rationnels, ce n'est pas le même infini.

Il faut donc impérativement remplacer la notion de nombre d'éléments (qui ne veut rien dire), par une définition formelle : celle de cardinal d'un ensemble :
On dit que deux ensembles ont le même cardinal s'il existe une bijection de l'un dans l'autre (le cardinal devient la classe d'équivalence pour la relation "il existe une bijection). Vous remarquerez que cette définition englobe parfaitement la définition habituelle pour les ensembles finis.

Et il se trouve qu'il n'existe de pas de bijection entre les réels et les rationnels, leurs cardinaux sont donc différents !

Toujours sous cette hypothèse, on prend une fonction f. On a f(a) = b et f(c) = d, avec a < c. (a,b,c,d) € IR^4. Si il existe une infinité de valeurs enter c et d, on ne peut pas "passer de c à d" étant donné que ces deux valeurs sont séparées par une infinité de valeurs... Comprenez-vous l'objet de la réflexion?

La notion de "on ne peut pas passer de c à d" n'est pas (ici) une notion mathématiques, si vous voulez en apprendre un peu plus sur ce point précis, vous pouvez rechercher le "Paradoxe de Zénon d'Elée".

[A voir en vidéo sur Futura]

[Scapike]

Ok Médiat j'ai compris. Désolé si je m'exprime pas parfaitement, comme je l'ai dit je n'ai que le niveau terminale en maths; je ne connaissais pas la notion de cardinal.

En ce qui concerne l'ensemble Q, j'y ai pensé mais je n'étais déjà pas sûr de moi à 100%, je voulais pas m'enfoncer plus loin dans la réflexion avant obtention de confirmation quant à ce que j'avançais.