petit problème d'algèbre

[invite10eac14e]

bonjour je désire passer l'examen d'entrée de la fac de sciences appliquées mais ca fait 2 ans que je n'ai plus fait de math depuis le secondaire.. donc je réactive doucement mes bases ^^ merci d'avance

la sommes des trois chiffres d'un nombre naturel est 17
en ajoutant le chiffre des dizaines au double du chiffre des centaines on obtient 22
la différence entre le nombre et celui obtenu en inversant l'ordre des chiffres est 495

quels sont les nombres possibles qui vérifient cette propriété ?
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[ericcc]

Ecris ton nombre sous la forme 100a+10b+c, et transcris les propriétés en un système de 3 équations à 3 inconnues.

Ensuite il faudra se souvenir que les chiffres d'un nombre sont compris entre 0 et 9 !

[invite10eac14e]

c'est ce que j'ai fais, ensuite je procède par substitution et je replace toute dans une seule équation mais toute mes parties littérales s'annulent entre elles et j'arrive à 495=495

je dois faire une erreur de procédure quelque part...

[Elie520]

Ton nombre a trois chiffre si je ne m'abuse d'après la première phrase. Note-le donc :
avec et

Ainsi, le nombre obtenu en "inversant" les chiffres s'écrit

Tu devrais y arriver plus facilement désormais en résolvant un système a 3 inconnues et trois équations données par l'énoncé
Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ericcc]

Quelles sont tes équations ?

[invite10eac14e]

elie : je ne comprends pas tes notations, je n'ai qu'un niveau de secondaire

eric :

x+y+z = 17
2x + y = 22
99x - 99z = 495

[Elie520]

Tu remarqueras que dans ton système, la valeur de b n'influe jamais. Donc comme on te demande toutes les valeurs possibles de , il faut envisager déjà que pour a et c fixés, b peut prendre toutes les valeurs de 0 à 9.
Ensuite, je pense que tu as aussi dû trouver a=c+5. Donc pour b fixé, a peut prendre les valeurs de 5 à 9, et ainsi, c s'en trouve fixé. à toi désormais de trouver le nombre de valeurs possibles de

[Elie520]

J'ai oublié à la fin, qu'il faut finalement enlever certains nombres puisque b+2a=22.
Donc en fait, pour chaque valeur de a et c, faut en déduire celle de b.

[Elie520]

elie : je ne comprends pas tes notations, je n'ai qu'un niveau de secondaire

eric :

x+y+z = 17
2x + y = 22
99x - 99z = 495

C'est exactement ca Donc de ta troisième équation, tu en déduis x-z=5 ou encore x=z+5. Or x est un entier inférieur à dix ok ? De plus, z est positif. Donc x peut prendre seulement les valeurs ... ... ... ... et ...
Ensuite, tu cherches à trouver y pour que la seconde équation soit vérifiée, et tu vérifies à la fin que tes solutions sont bien compatibles avec la première équation

[invite10eac14e]

je trouve les nombres
782, 863 et 944 et ca ma l'air juste

au début j'essayais d'isoler une inconnue en fait :s
comment savoir qu'il fallait réflechir ainsi ?

[ericcc]

elie : je ne comprends pas tes notations, je n'ai qu'un niveau de secondaire

eric :

x+y+z = 17
2x + y = 22
99x - 99z = 495

La dernière équation est (en divisant par 99) x-z=5

Tu remarques que tu pouvais la trouver en soustrayant la première de la deuxième. Tu as donc seulement deux équations pour 3 inconnues, et il y aura plusieurs solutions (comme l'énoncé te le suggérait).

Gardons la première et la troisième :

x+y+z=17
x-z=5

L'idée est d'exprimer x et z en fonction de y, en ne gardant que les valeurs de x, y et z comprises entre 0 et 9.

[invite10eac14e]

je vois, la troisième ligne est un peu un "piège" si je peux dire dans ce cas ..puisque on sait trouver la réponse sans l'utiliser ? (et je suis tomber dedans ^^)

[Elie520]

jcomment savoir qu'il fallait réflechir ainsi ?

Pas vraiment de solution miracle j'ai fais comme tout le monde et essayé de trouver x, y et z, mais j'ai remarqué que une des trois équations était équivalente aux autres, et donc inutile. A partir de ce point, tu as 2 équations avec 3 inconnues, il ne faut donc plus s'attendre à avoir une réponse unique. Après, le fait que nous ayons un nombre fini de réponse est dû au fait que les nombres x, y et z sont en fait des chiffres.