Fonction holomorphe et constante

[Bartolomeo]

Bonjour,

si f est holomorphe et |f| constante sur D comment démontrer que f est constante sur D?

merci
Bart
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[invite4ef352d8]

Salut !

Si tu connais la forme polaire des conditions de cauchy rieman, applique les et c'est gagné.

sinon
si |f|=0 c'est réglé, sinon si |f| est non nul, tu peux localement considérer un logaritle de f g (ie exp(g(z))=f(z) )

on a alors |f|=exp(Re(g)) et donc g a une partie réel constante... et la tu applique les condition de cauchy riemann sur g et c'est gagné.


ou encore, du considère un point ou f' est non nul (disont 0 par exemple)
on a alors f(h)=f(0)+f'(0).h +o(h)

si tu calcule le module de |f(h)| (a un o(h) près) tu vera que ca n'est pas constant...