Résolution d'équations du second degré par une méthode analytique

[silk78]

Bonjour à tous,

Aujourd'hui, pas de mathématiques compliquées vu que le but de ma démonstration est de résoudre l'équation toute simple ax²+bx+c=0. Il existe bien entendu une méthode de résolution algébrique bien connue, utilisant la forme canonique. Mais je me suis récemment intéressé à une autre méthode, analytique celle-ci et ma question est simple : peut-elle être utilisée pour des équations de degré supérieur, qui sont elles plus dures à résoudre algébriquement ? Mais trève de bavardages, passons au vif du sujet.

Par la suite, on considèrera que a et b sont positifs et que l'on s'intéresse à la solution sur I=[-b/2a;+infini[. La méthode change très peu pour les autres cas, je ne referais donc pas les autres démonstrations.

On pose u=ax²+bx. On a alors :
d'où

soit en intégrant (avec d une constante réelle):


Or a est positif donc sur l'intervalle I, du/dt est positif, on obtient donc :


Comme a et b sont positif, on a 0 dans I ; or pour x=0, u=0 et du/dt=b ; on a donc d=b², soit :


On obtient donc une équation différentielle du premier ordre, sur laquelle on peut appliquer la méthode de séparation des variables, ce qui nous donne :





Or, notre équation de départ équivaut à u=-c ; on a donc :


On retrouve ainsi la célèbre formule.

Comme vous pouvez le constater, cette démonstration est bien longue pour une équation solvable en quatre lignes. Je me demande cependant si il y a moyen de l'utiliser pour des équations de degré supérieur.
Je dirais qu'à priori oui, mais je n'ai pas trouvé l'équation différentielle qui permettrait d'appliquer la méthode de séparation des variables.

Alors, si quelqu'un a une idée, je suis preneur.

Silk
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[KerLannais]

Salut,

C'est amusant mais je ne suis pas sûr que ça se généralise. Note que la méthode de séparation de variable n'est pas vraiment nécessaire puisque tu as





La constante étant déterminée en regardant ce que donne l'égalité lorsque


à condition que , sinon on peut comprendre comme une des racine carrée complexe (n'importe laquelle) de et auquelle cas l'égalité est vraie en toute généralité.
Puisque
on a

Si est solution de l'équation

alors

et


La résolution se cache dans le fait que tu exprimes en fonction de , c-à-d en fonction de , soit en faisant le changement de variable affine , en fonction de

ce qui revient à résoudre une équation de degré 2. Ici l'expression de en fonction de peut se trouver comme une intégrale première puisque l'équation que vérifie est très simple.

[KerLannais]

En fait ta méthode utilisant les équa diff permet juste d'aboutir à la relation

Soit

Ce qui quand on y réfléchit bien n'est ni plus ni moins qu'une mise sous forme canonique. Ta démonstration est donc en fait très similaire à la démonstration classique. Elle ne diffère que par la façon de trouver une forme canonique.

Pour le degré 3 je suis parti comme ça





On cherche une fonction à deux variables qui dépendent que de , et tel que

On dérive et on trouve

Il faudrait donc


C'est une banale équation de transport (la variable étant la variable de temps). On la résout à l'aide de la méthode des caractéristiques. On résout donc le problème de Cauchy

On trouve (c'est facile)

On sait alors que

est constante puisque

En particulier

avec une certaine fonction dérivable.
Soit

On doit avoir

On peut donc prendre n'importe qu'elle fonction dérivable et poser

On aura donc

C'est en particulier vrai pour et donc

(Ce qui explique clairement pourquoi ça marche pour n'importe quelle fonction ). Il est bien entendu facile de vérifier à la main cette relation à partir des expressions de et et on en déduit que

En particulier est nécessairement toujours positif et ne s'annule qu'en (c'est logique puisque on peut remarquer que l'on soustrait à la parabole la valeur de son minimum) et

En on trouve

On voit donc que le est en fait le signe de .
Mais maintenant, plus intéressant, on cherche une fonction de deux variables telle que cette fois-ci

On dérive

Soit

Il faudrait donc

La méthode des caractéristiques donne alors

où pour des raisons partiques j'ai choisi le signe de (la méthode est analogue pour l'autre signe) et j'ai noté
et . On a

(Si tu est pointilleux tu auras remarqué qu'il y a un problème en mais il s'agit d'une singularité intégrable).
On peut donc faire le changement de variable

dans l'intégrale et on trouve


On a donc pour une certaine fonction dérivable

Il faut

et finalement on trouve

Si on note

alors on sait que c'est une fonction monotone (et même croissante avec ce choix de signe) puisque l'on connaît sa dérivée et elle est bijective à valeurs dans l'ensemble qui nous intéresse vu la remarque précédente sur la positivité de . On a donc

s'annule en les solutions de l'équation du second degré il faut donc être prudent lorsque l'on utilise la méthode de séparation de variables et on trouve

Ainsi, si est solution de l'équation alors

Le seul problème est que l'on a pas variment une formule explicite. C'est à mon sens la généralisation de ta méthode mais tu as peut-être un autre point de vue.

[silk78]

Bonjour KerLannais,

Je rentre de vacances et je suis bien content de trouver une réponse sur ce sujet, donc tout d'abord merci pour celle-ci.

Au vu de ta démonstration, je comprend mieux pourquoi je n'ai pas réussi à trouver l'équation différentielle que je cherchais : tout ça dépasse de loin ce que j'ai l'habitude de faire en math, et j'ai même jamais vu certains outils utilisés (comme ce que je pense être des équations aux dérivées partielles sur F et G et la méthode des caractéristiques). Mais dans l'ensemble je pense avoir compris le raisonnement.

J'ai cependant une question sur la fin : tu dis que le résultat de l'intégrale n'est pas exprimable explicitement (ou alors j'ai mal compris), mais cependant la méthode de Cauchy donne un résultat algébrique explicite pour les trois solutions de l'équation, comment ça se fait ?

Merci,
Silk

[A voir en vidéo sur Futura]

[KerLannais]

Salut,

Le problème c'est que pour inverser il faut résoudre une équation de degré 3. On peut s'en sortir toutefois dans le cas particuler des équations de la forme

c'est à dire lorsque

et du coup

On a alors


On a alors

(je me rends compte que j'avais fait une erreur puisqu'à un moment j'ai dit alors que , il faut donc remplacer par dans la relation qui relie à , ce qui est logique puisque n'intervient ni dans ni dans )
Cette relation peut se retrouver directement à la main en la mettant au cube et en remplacant et par leur expression polynomiale même si c'est un peut pénible (personnellement j'ai fait faire le calcul à Mathématica pour être sûr que la formule est correcte)
Je te laisse le plaisir d'intégrer cette équation différentielle et trouver l'unique solution réelle de l'équation de degré 3 de départ en fonction de , , et .

Alors là tu te dis ouais super ta méthode permet de trouver une formule pour résoudre les équations de degré 3 même si tu n'est pas dans le cas général Le problème que ces équations de degré 3 sont triviales à résoudre En effet on reconnaît le début d'un cube



Cela dit ta méthode permet de retrouver cette formule c'est déjà pas mal. Par ailleurs on constate que lorsque l'on cherche de la façon la plus générale possible une relation entre et ses dérivée alors cette relation est polynomiale (enfin en tout cas en degré 2 et 3) et donc on ne peut espérer trouver de formule pour exprimer les racines d'un polynômes à l'aide de fonctions autres que des radicaux et en particulier on ne peut rien apporter de plus que ce que dit la théorie de Galois
Ici la relation entre et peut s'écrire

Mais tu peux remarquer que dans le cas g\'en\'eral avec éventuellement non nul ça marche encore.