Somme des k factorielle

[invite867fda9e]

Bonjour

Cela fait plusieurs semaines que j'essaye de trouver la formule explicite de ... quelqu'un pourrais t il donc me dire si cette somme se calcule sans avoir a calculler tout les k! jusqua n et si oui, qu'en est il?
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[invite6a7988bf]

Bonjour,

Le plus simple est d'utiliser la formule de Taylor-Young avec en prenant le point qui convient...


Mais c'est du niveau bac+1. En quelle classe es-tu ?

[Médiat]

Bonjour

Cela fait plusieurs semaines que j'essaye de trouver la formule explicite de ... quelqu'un pourrais t il donc me dire si cette somme se calcule sans avoir a calculler tout les k! jusqua n et si oui, qu'en est il?

Je ne pense pas qu'il existe une formule explicite, par contre on a défini une notation (factorielle gauche) pour cette somme (en partant de k = 0) :

[mimo13]

Bonjour,

Le plus simple est d'utiliser la formule de Taylor-Young avec en prenant le point qui convient...

Je crois que tu a confondu avec la somme des inverses des factorielles.

De ma part, je suis d'accord avec Médiat, il n'existe pas que je sache une formule explicite pour cette somme.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6a7988bf]

Je crois que tu a confondu avec la somme des inverses des factorielles.

Oulala !!! Je lis ce que j'ai envie de lire on dirait !!! Désolé

[invite867fda9e]

donc pas de solution explicite ?

c'est tout ce que je voulais savoir ... merci

[XxDestroyxX]

Bonjour/Bonsoir, je sais que ce topique commence à dater mais j'ai trouvé une formule explicite qui donne la somme des k factorielles. Alors si ça intéresse encore quelqu'un, faites moi signe

[ansset]

avec plaisir de te lire.
Cdt

[XxDestroyxX]

Voilà la formule que j'ai trouvé :

[albanxiii]

Wolframalpha n'a pas le même résultat http://www.wolframalpha.com/input/?i...for+k%3D0+to+n

(au passage, on dit factoriel k, pas l'inverse).

[pm42]

Wolframalpha n'a pas le même résultat http://www.wolframalpha.com/input/?i...for+k%3D0+to+n

Oui mais un petit test numérique vite fait semble confirmer la formule.

[eudea-panjclinne]

La formule se démontre facilement. On aperçoit, dans l'intégrale proposée, la somme fini des termes d'une suite géométrique, chaque terme multiplié par exp(-x) et intégré génère une fonction gamma d'où la somme des factorielles...

[ansset]

joli ( même si je n'ai pas vérifié )

[XxDestroyxX]

Effectivement, Wolframalpha ne donne pas la même formule mais je pense que la mienne est un peu plus simple Elle est bien juste et j'en ai fais une démonstration à partir, non pas de la fonction gamma, mais de la fonction pi (moins connue) telle que pi(x)=x!

[XxDestroyxX]

C'est bien beau de l'avoir trouvé mais ma question est, est-ce que on peut trouver une utilité à cette formule ? Je veux dire, est-ce que la somme des factorielles a une quelconque application ?

[eudea-panjclinne]

joli ( même si je n'ai pas vérifié )

Merci.

Je veux dire, est-ce que la somme des factorielles a une quelconque application ?

Je n'en connais pas, mais attendons d'autres avis.

[sleinininono]

tu partagerais la démo ? je ne connais pas cette fameuse fonction pi

[XxDestroyxX]

Je préviens, cette démonstration m'appartient

On appelle la fonction Pi la fonction


On a alors



Par linéarité de l'intégrale,


Or, on reconnaît bien la somme des termes d'une suite géométrique

On a alors bien


Voilà voilà, pas très compliqué mais il fallait y penser !

[eudea-panjclinne]

je ne connais pas cette fameuse fonction pi

C'est en fait la fonction Gamma connu depuis L. Euler (17e): Pi(x)=Gamma(x+1)

[eudea-panjclinne]

Notons

En fait, S(n) se comporte comme n! pour n grand et n'est peut-être pas aussi intéressante que ce qu'on pourrait imaginer.
Si on pose

tu peux étudier la suite a(n), n entier naturel: premiers termes, sens de variation, convergence, encadrement ...

[ansset]

Notons

En fait, S(n) se comporte comme n! pour n grand et n'est peut-être pas aussi intéressante que ce qu'on pourrait imaginer.
...

c'est juste car k!/S(n) converge vers 1, du coup, il serait amusant de voir si l'intégrale converge vers la formule de Stirling !

[ansset]

ps: dans l'intégrale, il y a une faute de frappe , le k est à remplacer par n, bien sur.

[XxDestroyxX]

Oui bien évidemment, c'est un n, j'étais distrait ^^'

[ansset]

moi aussi , car j'aurai du écrire n!/S(n) converge vers 1 ( alors que j'ai écrit k! )

[XxDestroyxX]

eudea-panjclinne, alors, soit la suite avec évidemment
On peut écrire sous forme d'une suite de récurrence (je passe les détails de calcul) :



Cette suite a pour premiers termes : et

Elle est croissante sur [0;1[, constante sur [1;2[ et enfin strictement décroissante sur [2;+∞[

Cette suite converge vers 1 quand n tend vers +∞ et peut être encadrée :

[XxDestroyxX]

..., il serait amusant de voir si l'intégrale converge vers la formule de Stirling !

Je ne vois pas trop ce que tu veux dire par cette phrase... De quelle intégrale parles-tu ? Et la formule de Stirling est bien ?

[ansset]

re-
je parle de ton intégrale qui formalise S(n)
et effectivement comme S(n)/n! tend vers 1, ton intégrale devrait tendre vers la formule de Stirling ( qui est bien celle que tu rappelles ici ).
le démontrer est autre chose.

[ansset]

En fait, on doit pouvoir le faire en prenant la formulation directe utilisant la fct gamma ( donnée plus haut ) ainsi que son développement asymptotique explicité ici:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Foncti...ue_de_Stirling

[XxDestroyxX]

Là, je suis perdu ansset, je ne serai pas capable de faire ça ^^'
Donc si ça ne te dérange pas, pourrais-tu faire un début ? Etant en terminale S, je ne vois pas ce qu'est un développement asymptotique et, même si je recherche, je ne maîtrise pas assez pour pouvoir l'utiliser... Donc pourrais-tu montrer comment on pourrait le démontrer ?

[eudea-panjclinne]

XxDestroyxX Message #25
Oui c'est cela, aux notations incorrectes près. La suite a(n) est une application de IN dans IR.
Tu ne peux pas écrire :
Elle est croissante sur [0;1[, constante sur [1;2[ et enfin strictement décroissante sur [2;+∞[
qui fait référence à des parties de IR
En effet, un intervalle [0;1] est un intervalle de IR non de IN.
Tu aurais du écrire :
Elle est croissante sur {0;1}, constante sur {1;2} et enfin strictement décroissante pour n>2 .


Comment montres-tu que la suite a(n) est décroissante pour n>2 ?