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Somme des k factorielle



  1. #1
    blarff

    Cool Somme des k factorielle


    ------

    Bonjour

    Cela fait plusieurs semaines que j'essaye de trouver la formule explicite de ... quelqu'un pourrais t il donc me dire si cette somme se calcule sans avoir a calculler tout les k! jusqua n et si oui, qu'en est il?

    -----

  2. #2
    Hiruma

    Re : Somme des k factorielle

    Bonjour,

    Le plus simple est d'utiliser la formule de Taylor-Young avec en prenant le point qui convient...


    Mais c'est du niveau bac+1. En quelle classe es-tu ?

  3. #3
    Médiat

    Re : Somme des k factorielle

    Citation Envoyé par blarff Voir le message
    Bonjour

    Cela fait plusieurs semaines que j'essaye de trouver la formule explicite de ... quelqu'un pourrais t il donc me dire si cette somme se calcule sans avoir a calculler tout les k! jusqua n et si oui, qu'en est il?
    Je ne pense pas qu'il existe une formule explicite, par contre on a défini une notation (factorielle gauche) pour cette somme (en partant de k = 0) :
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  4. #4
    mimo13

    Re : Somme des k factorielle

    Citation Envoyé par Hiruma Voir le message
    Bonjour,

    Le plus simple est d'utiliser la formule de Taylor-Young avec en prenant le point qui convient...
    Je crois que tu a confondu avec la somme des inverses des factorielles.

    De ma part, je suis d'accord avec Médiat, il n'existe pas que je sache une formule explicite pour cette somme.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Hiruma

    Re : Somme des k factorielle

    Citation Envoyé par mimo13 Voir le message
    Je crois que tu a confondu avec la somme des inverses des factorielles.
    Oulala !!! Je lis ce que j'ai envie de lire on dirait !!! Désolé

  7. #6
    blarff

    Re : Somme des k factorielle

    donc pas de solution explicite ?

    c'est tout ce que je voulais savoir ... merci

  8. #7
    XxDestroyxX

    Re : Somme des k factorielle

    Bonjour/Bonsoir, je sais que ce topique commence à dater mais j'ai trouvé une formule explicite qui donne la somme des k factorielles. Alors si ça intéresse encore quelqu'un, faites moi signe

  9. #8
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Somme des k factorielle

    avec plaisir de te lire.
    Cdt
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  10. #9
    XxDestroyxX

    Re : Somme des k factorielle

    Voilà la formule que j'ai trouvé :


  11. #10
    albanxiii
    Modérateur

    Re : Somme des k factorielle

    Wolframalpha n'a pas le même résultat http://www.wolframalpha.com/input/?i...for+k%3D0+to+n

    (au passage, on dit factoriel k, pas l'inverse).
    Not only is it not right, it's not even wrong!

  12. #11
    pm42

    Re : Somme des k factorielle

    Citation Envoyé par albanxiii Voir le message
    Wolframalpha n'a pas le même résultat http://www.wolframalpha.com/input/?i...for+k%3D0+to+n
    Oui mais un petit test numérique vite fait semble confirmer la formule.

  13. #12
    eudea-panjclinne

    Re : Somme des k factorielle

    La formule se démontre facilement. On aperçoit, dans l'intégrale proposée, la somme fini des termes d'une suite géométrique, chaque terme multiplié par exp(-x) et intégré génère une fonction gamma d'où la somme des factorielles...

  14. #13
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Somme des k factorielle

    joli ( même si je n'ai pas vérifié )
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  15. #14
    XxDestroyxX

    Re : Somme des k factorielle

    Effectivement, Wolframalpha ne donne pas la même formule mais je pense que la mienne est un peu plus simple Elle est bien juste et j'en ai fais une démonstration à partir, non pas de la fonction gamma, mais de la fonction pi (moins connue) telle que pi(x)=x!

  16. #15
    XxDestroyxX

    Re : Somme des k factorielle

    C'est bien beau de l'avoir trouvé mais ma question est, est-ce que on peut trouver une utilité à cette formule ? Je veux dire, est-ce que la somme des factorielles a une quelconque application ?

  17. #16
    eudea-panjclinne

    Re : Somme des k factorielle

    Citation Envoyé par ansset
    joli ( même si je n'ai pas vérifié )
    Merci.

    Citation Envoyé par XxDestroyxX
    Je veux dire, est-ce que la somme des factorielles a une quelconque application ?
    Je n'en connais pas, mais attendons d'autres avis.

  18. #17
    sleinininono

    Re : Somme des k factorielle

    tu partagerais la démo ? je ne connais pas cette fameuse fonction pi

  19. #18
    XxDestroyxX

    Angry Re : Somme des k factorielle

    Je préviens, cette démonstration m'appartient

    On appelle la fonction Pi la fonction


    On a alors



    Par linéarité de l'intégrale,


    Or, on reconnaît bien la somme des termes d'une suite géométrique

    On a alors bien


    Voilà voilà, pas très compliqué mais il fallait y penser !

  20. #19
    eudea-panjclinne

    Re : Somme des k factorielle

    Citation Envoyé par sleinininono
    je ne connais pas cette fameuse fonction pi
    C'est en fait la fonction Gamma connu depuis L. Euler (17e): Pi(x)=Gamma(x+1)

  21. #20
    eudea-panjclinne

    Re : Somme des k factorielle

    Notons

    En fait, S(n) se comporte comme n! pour n grand et n'est peut-être pas aussi intéressante que ce qu'on pourrait imaginer.
    Si on pose

    tu peux étudier la suite a(n), n entier naturel: premiers termes, sens de variation, convergence, encadrement ...

  22. #21
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Somme des k factorielle

    Citation Envoyé par eudea-panjclinne Voir le message
    Notons

    En fait, S(n) se comporte comme n! pour n grand et n'est peut-être pas aussi intéressante que ce qu'on pourrait imaginer.
    ...
    c'est juste car k!/S(n) converge vers 1, du coup, il serait amusant de voir si l'intégrale converge vers la formule de Stirling !
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  23. #22
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Somme des k factorielle

    ps: dans l'intégrale, il y a une faute de frappe , le k est à remplacer par n, bien sur.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  24. #23
    XxDestroyxX

    Re : Somme des k factorielle

    Oui bien évidemment, c'est un n, j'étais distrait ^^'

  25. #24
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Somme des k factorielle

    moi aussi , car j'aurai du écrire n!/S(n) converge vers 1 ( alors que j'ai écrit k! )
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  26. #25
    XxDestroyxX

    Re : Somme des k factorielle

    eudea-panjclinne, alors, soit la suite avec évidemment
    On peut écrire sous forme d'une suite de récurrence (je passe les détails de calcul) :



    Cette suite a pour premiers termes : et

    Elle est croissante sur [0;1[, constante sur [1;2[ et enfin strictement décroissante sur [2;+∞[

    Cette suite converge vers 1 quand n tend vers +∞ et peut être encadrée :

  27. #26
    XxDestroyxX

    Re : Somme des k factorielle

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    ..., il serait amusant de voir si l'intégrale converge vers la formule de Stirling !
    Je ne vois pas trop ce que tu veux dire par cette phrase... De quelle intégrale parles-tu ? Et la formule de Stirling est bien ?

  28. #27
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Somme des k factorielle

    re-
    je parle de ton intégrale qui formalise S(n)
    et effectivement comme S(n)/n! tend vers 1, ton intégrale devrait tendre vers la formule de Stirling ( qui est bien celle que tu rappelles ici ).
    le démontrer est autre chose.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  29. #28
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Somme des k factorielle

    En fait, on doit pouvoir le faire en prenant la formulation directe utilisant la fct gamma ( donnée plus haut ) ainsi que son développement asymptotique explicité ici:
    https://fr.wikipedia.org/wiki/Foncti...ue_de_Stirling
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  30. #29
    XxDestroyxX

    Re : Somme des k factorielle

    Là, je suis perdu ansset, je ne serai pas capable de faire ça ^^'
    Donc si ça ne te dérange pas, pourrais-tu faire un début ? Etant en terminale S, je ne vois pas ce qu'est un développement asymptotique et, même si je recherche, je ne maîtrise pas assez pour pouvoir l'utiliser... Donc pourrais-tu montrer comment on pourrait le démontrer ?

  31. #30
    eudea-panjclinne

    Re : Somme des k factorielle

    XxDestroyxX Message #25
    Oui c'est cela, aux notations incorrectes près. La suite a(n) est une application de IN dans IR.
    Tu ne peux pas écrire :
    Elle est croissante sur [0;1[, constante sur [1;2[ et enfin strictement décroissante sur [2;+∞[
    qui fait référence à des parties de IR
    En effet, un intervalle [0;1] est un intervalle de IR non de IN.
    Tu aurais du écrire :
    Elle est croissante sur {0;1}, constante sur {1;2} et enfin strictement décroissante pour n>2 .


    Comment montres-tu que la suite a(n) est décroissante pour n>2 ?

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