Décomposition en facteurs premiers

[mehdi_128]

Bonsoir,

Je suis dans la démonstration de l'unicité dans mon livre mais je bloque dans l'initialisation, j'ai pas compris.

Unicité de la décomposition en facteurs premiers :

Par récurrence :
U(n) : la décomposition en facteurs premiers de tout entier de [|2,n|] est unique.

Montrons U(2).

Supposons par l'absurde que l'entier 2 qui est premier admette une autre décomposition en produit de facteurs premiers.
Il existe alors un nombre premier p distinct de 2 donc tel que tel que où

La décomposition en produit de facteurs premier de 2 est : ? Je suis pas sûr du tout. Mon cours donne pas d'exemple.
J'ai pas compris le passage en vert et pourquoi ?
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[Médiat]

Bonjour

La décomposition de 2 en facteur premier est … 2

[mehdi_128]

2 ou 1 *2 ?

[mehdi_128]

Pardon 1 n'est pas premier donc d'après la définition de mon livre :

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Peux-tu donner la définition de ton livre ? Ce que tu écris est d'ailleurs incohérent : Si on met des exposants aux nombres premiers, il en faut 1 à 2.

[mehdi_128]

Théorème fondamental de l'arithmétique :

Tout entier naturel s'écrit de façon unique à l'ordre près des facteurs :

où

[gg0]

OK.

donc c'est bien
Et il n'est pas question de remplacer les par des 1. C'est ta définition, tu dois t'en servir.

[mehdi_128]

Oui mais je comprends toujours pas le passage écrit en vert
Si 2 admet une autre décomposition, pourquoi elle s'écrit :
Il existe alors un nombre premier p distinct de 2 donc tel que tel que où

[gg0]

A vrai dire, moi non plus, car il y a une autre possibilité : que l'exposant de 2 soit différent de 1 et les autres exposants nuls.
Mais il est alors évident que ce n'est pas possible, puisque 20<2<2^n pour n>1.
Donc il reste la seule possibilité énoncée dans ton texte : Qu'il y ait au moins un nombre premier p autre que 2 d'exposant non nul. Et alors, comme kp>2 (k est non nul), on a aussi une contradiction.

Cordialement.

NB : les démonstrations classiques me semblent plus simples à comprendre.

[Matmat]

la phrase en verte semble considérer que si l'exposant de 2 est supérieur à 1 alors il devrait exister de toute facon un autre facteur différent de 2 dont l'exposant est supérieur de 0 dans la décomposition ( et c'est de celui dont la phrase verte parle)

[gg0]

Je ne sais pas (j'ai simplement appliqué la définition par produit infini) ... Mehdi128, si tu n'es pas obligé d'utiliser strictement ce document, vois une autre preuve ailleurs.