Unicité de la décomposition en facteurs premiers

[ericcc]

Bonjour, mon fils est en Terminale, et son prof de Spé Maths leur a démontré l'unicité de la décomposition en facteurs premiers des entiers naturels. Cependant c'était passablement embrouillé, et me voilà parti à bricoler une démonstration de mon cru. Comme l'arithmétique est lointaine est piégeuse, merci aux esprits jeunes et alertes qui hantent ce forum de me corriger si j'ai dit une bêtise.

Supposons donc N=pa11....pann
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[ericcc]

Bonjour, mon fils est en Terminale, et son prof de Spé Maths leur a démontré l'unicité de la décomposition en facteurs premiers des entiers naturels. Cependant c'était passablement embrouillé, et me voilà parti à bricoler une démonstration de mon cru. Comme l'arithmétique est lointaine est piégeuse, merci aux esprits jeunes et alertes qui hantent ce forum de me corriger si j'ai dit une bêtise.

Supposons donc N=p₁^a₁....p_n^a_n=q₁^b₁....q_n^b_n

1/Montrons que les p_i sont identiques aux q_j :

Supposons qu'il existe un p_i différent de chacun des q_j. Alors p_i divise N divise donc un produits de nombres qui sont premiers avec lui (les q_j sont premiers et donc leurs puissances sont premières avec p_i). Par le théorème de Gauss, il existe donc un j tel que p_i divise q_j. Comme q_j est premier, c'est impossible.

2/On a donc prouvé que seuls les exposants peuvent varier dans l'écriture de N.
N=p₁^a₁....p_n^a_n=p₁^b₁....p_n^b_n

Il reste à montrer que a_i=b_i.

Supposons a₁ >= b₁ sans perte de généralité. On peut simplifier les deux membres par p₁^b₁. Il reste alors
p₁^(a₁-b₁)....p_n^a_n=p₂^b₂....p_n^b_n

D'après le raisonnement du 1/ on en déduit que p₁^(a₁-b₁)= 1, et donc que a₁=b₁.

Le même raisonnement s'applique à tous les p_i.

CQFD

[invitebb921944]

Bonjour !
Ca m'a l'air bon mais pourquoi dans l'hypothèse les indices des pi et des qj varient-ils dans le même ensemble {1,..,n} ? Je pense qu'on doit les faire varier dans deux ensembles distincts du genre {1,..,n} et {1,..,m}.

Voila à part ce petit truc qui me gêne, le reste parait OK !

[ericcc]

OK merci

Tu as raison avant la partie 1/ ils varient dans deux ensembles différents, mais ce n'est plus le cas après 1, car on a démontré n=m.

[A voir en vidéo sur Futura]