somme des puissances Pieme des n premiers entiers

[invite21348749873]

Good morning
Je remarque que:
1+2+3+....+n=n(n+1)/2 polynome de degré 2

1+2^2+3^2+....+n^2= n(n+1)(2n+1)/6 polynome de degré 3

1+2^3+3^3+...+n^3= (n^2*(n+1)^2)/4 polynome de degré4
Peut on généraliser à
1+2^p+3^p+..+n^p et dire que c'est un polynome de degré p+1?
Merci.
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[invitedf667161]

oui c'est vrai.

Je n'ai plus de souvenirs de la démonstration mais il me semble que montrer que c'est un polynome de degré p+1 doit se faire simplement par recurrence.

Après trouver la tête du polynome pour tout p est une autre histoire...

[invite4793db90]

Salut,



où les sont les nombres de Bernoulli.

Cordialement.