Bonjour
Je recherche comment écrire la suite de la somme des n premiers nombres au carré:
Pn=1+4+9+16+25+...n²
mais d'une meilleure façon...je ne pense pas que la suite Un=n² soit geometrique, donc je ne sais pas comment calculer la somme de ses n premiers termes
pouvez vous m'aider?
Cordialement
cette somme est n(n+1)(2n+1)/6 , tu peux le montrer par récurence .pour la calculer directement je pense qu'il faut utiliser une astuce du style k^2=(k(k-1)+k) mais je crois pas que ce soit simple ..
Bonjour,Envoyé par milsabor
Ce n'est effectivement pas une suite géométrique... En vrai,
P(n) = n(n+1)(2n+1) / 6
et c'est un bon exo (facile) de le démontrer par récurrence.
-- françois
Une idée qui me passe par la tête c'est de penser aux impaires , par exemple que fait la somme des n premiers impaires ... puis de continuer en utilisant le résultat.(je ne suis pas sûr du tout ... mais ca me parait une piste).
Devancé par Syllys , oui la récurrence me parait plus facile , pourquoi toujours tout démontrer à la bourin .... un peu d'intuition ne fait pas de mal.
mais, par récurrence, je ne vois pas du tout par quoi je devrai commencer mon raisonnement! il faut deja que je connaisse une partie de la réponse!
Tu as P(n+1) = P(n) + (n+1)², et si on admet que P(n) = n(n+1)(2n+1)/6 (hypothèse de récurrence), il n'y a plus qu'à développer...
Mais c'est vrai que cete expression de P(n) n'est pas franchement intuitive, et que la balancer dans une récurrence comme si on avait eu la révélation, c'est pas très honnête. L'idée de partir sur le somme de n premiers impairs (qui est égale à n², voir un peu plus loin dans ce forum) est excellente.
-- françois
Une autre solution un peu moins malhonnête (mais juste un peu) consiste à supposer que l'on va obtenir un polynôme de degré 3, et d'en calculer les coefficients à l'aide des premiers termes. Ensuite on montre le tout rigoureusement par récurrence.
Ca permet aussi de retrouver facilement le résultat si on ne connait pas la formule par coeur.
En fait, je ne me souvenais plus de la formule par cœur, alors j'ai fait comme tu dis...Une autre solution un peu moins malhonnête (mais juste un peu
Ca permet aussi de retrouver facilement le résultat si on ne connait pas la formule par coeur.(enfin, je me rappelais quand même que cétait du 3ème degré, mais ça c'est à peu près clair).
-- françois
D'ailleurs si on prends des cubes de côté 1 que l'on dispose en pyramide (base carrée composée de n² cubes sur laquelle on dispose un carré composé de (n-1)² cubes ...), on voit assez intuitivement que le volume va être en n3/3. On retrouve bien le terme de plus haut degré.
et maintenant, si je veux seulement la somme des nombres impaires au carré??? comment m'y prends-je?
Salut,
Regarde la somme des nombres pairs au carré. Tu devrais pouvoir l'exprimer...
La meilleure méthode pour répondre à la question initiale (et sans malhonnêteté) est celle évoquée par Syllys et c'est pas montrueusement compliqué :
Soit
Il est clair que
Pour
d'où
En réarrangeant, on retrouve le résultat bien connu
Pour, on fait pareil au cran suivant :
On décale les indices, tout dégage sauf le début et la fin... d'où
d'où
et de proche en proche la somme des puissances que l'on veut ...
Très joli !!!et astucieux!
-- françois
Merci, mais c'est pas moi qui l'ait inventé
Comme quoi, quoi qu'en disent certaines mauvaises langues, même plus de dix après, la prépa laisse des traces
