Démonstrations sur les matrices

[Bleyblue]

Bonjour,

Je dois montrer que si A et B sont des matrices inversibles qui commutent, il en est de même pour B et A^-1

Moi je ferai ça :

Si I désigne la matrice identité et comme l'ensemble des matrices inversibles forme un groupe de neutre I pour la mutltiplication :

BI = IB
B(AA^-1) = (AA^-1)B
(produit matriciel associatif)
(BA)A^-1 = A(A^-1B)
(AB)A^-1 = A(A^-1B)
A(BA^-1) = A(A^-1B)

en mutlipliant les deux membres par A^-1 :

BA^-1 = A^-1B

Ca me semble bon mais j'ai fait usage d'un théorème qui dit que l'ensemble des matrices (carrées de degré n) inversibles forment un groupe, il y a peut être moyen d'y arriver sans l'utiliser ?

merci
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[invitedf667161]

Ca me parait bon.

Il me semble que tu ne peux pas y arriver sans utiliser le fait que tu as évoqué. Ce qui est étrange c'est que tu n'as pas utilisé le fait que B est inversible, peut-être ce n'est pas indispensable.

[Bleyblue]

Ah bon d'accord.

Pour l'inversibilité de B je ne fait pas intervenire B^-1 ici mais je peux aussi démontrer que AB^-1= B^-1A et la ça interviendra

merci

[Bleyblue]

En voilà une autre :

Soit A une matrice n * n qui vérifie l'équation A² + 2A + 3I = 0. Démontrer que A est inversible est calculer A^-1 en fonction de A

En fait il suffit que je trouve une matrice B telle que A.B = I :

A² + 2A + 3I = 0
(en retranchant 3I aux deux membres)

A² + 2A = -3I
(en multipliant les deux memebres par le scalaire -1/3)

(-1/3)(A² + 2A) = I

Et ici je peux factoriser (A² + 2A) en A(A + 2) donc :

A(-A/3 -2/3) = I

Donc c'est démontrer et ça nous donne en plus la valeur de A^-1

non ?

merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite52c52005]

Ca a l'air correct.

Par contre, il y a des petites incorrections dans l'écriture :

on ne divise pas une matrice, donc au lieu de A/3, écrire plutôt (1/3)A.
Et on n'écrit pas, si k est un scalaire, A + k mais A+kI.

[Bleyblue]

Ah bon je ne savais pas ça, je prends bonne note

merci