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Démonstrations sur les matrices



  1. #1
    Bleyblue

    Démonstrations sur les matrices


    ------

    Bonjour,

    Je dois montrer que si A et B sont des matrices inversibles qui commutent, il en est de même pour B et A-1

    Moi je ferai ça :

    Si I désigne la matrice identité et comme l'ensemble des matrices inversibles forme un groupe de neutre I pour la mutltiplication :

    BI = IB
    B(AA-1) = (AA-1)B
    (produit matriciel associatif)
    (BA)A-1 = A(A-1B)
    (AB)A-1 = A(A-1B)
    A(BA-1) = A(A-1B)

    en mutlipliant les deux membres par A-1 :

    BA-1 = A-1B

    Ca me semble bon mais j'ai fait usage d'un théorème qui dit que l'ensemble des matrices (carrées de degré n) inversibles forment un groupe, il y a peut être moyen d'y arriver sans l'utiliser ?

    merci

    -----

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  3. #2
    GuYem

    Re : Démonstrations sur les matrices

    Ca me parait bon.

    Il me semble que tu ne peux pas y arriver sans utiliser le fait que tu as évoqué. Ce qui est étrange c'est que tu n'as pas utilisé le fait que B est inversible, peut-être ce n'est pas indispensable.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  4. #3
    Bleyblue

    Re : Démonstrations sur les matrices

    Ah bon d'accord.

    Pour l'inversibilité de B je ne fait pas intervenire B-1 ici mais je peux aussi démontrer que AB-1= B-1A et la ça interviendra

    merci

  5. #4
    Bleyblue

    Re : Démonstrations sur les matrices

    En voilà une autre :

    Soit A une matrice n * n qui vérifie l'équation A² + 2A + 3I = 0. Démontrer que A est inversible est calculer A-1 en fonction de A

    En fait il suffit que je trouve une matrice B telle que A.B = I :

    A² + 2A + 3I = 0
    (en retranchant 3I aux deux membres)

    A² + 2A = -3I
    (en multipliant les deux memebres par le scalaire -1/3)

    (-1/3)(A² + 2A) = I

    Et ici je peux factoriser (A² + 2A) en A(A + 2) donc :

    A(-A/3 -2/3) = I

    Donc c'est démontrer et ça nous donne en plus la valeur de A-1

    non ?

    merci

  6. #5
    nissart7831

    Re : Démonstrations sur les matrices

    Ca a l'air correct.

    Par contre, il y a des petites incorrections dans l'écriture :

    on ne divise pas une matrice, donc au lieu de A/3, écrire plutôt (1/3)A.
    Et on n'écrit pas, si k est un scalaire, A + k mais A+kI.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Bleyblue

    Re : Démonstrations sur les matrices

    Ah bon je ne savais pas ça, je prends bonne note

    merci

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