besoin de quelques démonstrations sur les trinômes du second degré

[Seirios]

Salut à tous,
j'aurais besoin de quelques démonstrations mathématiques qui m'explique pourquoi :
- Dans un trinôme du second degré de type ax²+bx+c, le minimum ou le maximum de la représentation graphique est égal à (-b)/(2a) ?
- x²-Sx+P=0 pour S la somme de deux réels et P le produit de ces même nombres ?
- lorsque le discriminant d'un trinôme est plus petit que 0 il y a deux solutions (je n'écris pas les formules ce serait trop long ), et lorsque qu'il est égale à 0 il n'y en a qu'une, et quand il est inférieur à 0 il n'y en pas (je connais la raison graphique, mais j'aimerai une démonstration mathématiques, surtout pour le rôle du discriminant)
Merci d'avance
Phys2
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[invited927d23c]

Salut,

Le maximum ou le minimum d'une fonction se calcule à l'aide des dérivées, je ne sais pas si tu connais déjà. Mais on fait le calcul suivant :

f(x)=ax²+bx+c

on dérive

f''(x)=2ax+b

Chercher le maximum ou le minimum revient à résoudre :

f'(x)=0 car la 'pente' de la fonction est nulle

2ax+b=0 x=-b/(2a)

si a>0 c'est un minimum, si a<0 c'est un maximum, en fait il faudrait faire un tableau de variation.

Pour le discriminant, ca vient de la forme matricielle, mais je ne sais pas comment on fait.

[invitedf132656]

Salut .
Je pense que je peut t'aider .
D'abord on a : a²

[invitedf132656]

Désolé
on a : ax² + bx + c= 0
x² +(b/a) .x + c/a =0 (x+b/2a)²-(b²-4ac)/4a²=0
(x+b/2a)²=(b²-4ac)/4a²
on pose delta= b²-4ac
Il y a 3 cass :
delta<0 donc l'équation est insoluble
delta = 0 donc il y a 1 racine : x1=x2=-b/2a
delta >0 donc il y a 2 racines distincts

[A voir en vidéo sur Futura]

[nissart7831]

- lorsque le discriminant d'un trinôme est strictement plus grand que 0 il y a deux solutions réelles (je n'écris pas les formules ce serait trop long ), et lorsque qu'il est égale à 0 il n'y en a qu'une, et quand il est strictement inférieur à 0 il n'y en pas (je connais la raison graphique, mais j'aimerai une démonstration mathématiques, surtout pour le rôle du discriminant)
Merci d'avance
Phys2

Salut,

on cherche donc à trouver les solutions x dans de l'équation ax²+bx+c=0 (E) avec a, b, c réels.
On se met dans le cas où a est non nul, sinon cela a moins d'intêret.



Ce qui équivaut encore à :


Le membre de gauche de la dernière égalité est positif car c'est un carré. Donc il existe des solutions à cette équation si le membre de droite est aussi positif, c'est-à-dire si (car le numérateur est positif). Tu retrouves la le discriminant et le condition sur son signe pour l'existence des solutions.

Maintenant exhibons les solutions. On est donc dans le cas .
Comme les deux membres de l'équation sont positifs, on peut écrire :
ou


Ce qui revient finalement à dire :
ou


qui sont les solutions bien connues.

Si (discriminant nul), les lignes précédentes se résument à une seule qui est :


J'espère avoir été suffisamment clair.

[EDIT] Ah, le temps que j'écrive tout ça, tqhoan m'a devancé

[Romain-des-Bois]

Chercher le maximum ou le minimum revient à résoudre :

f'(x)=0 car la 'pente' de la fonction est nulle

2ax+b=0 x=-b/(2a)

Attention ! Si a est un extremum, alors la dérivée va s'annuler en a.

Mais la réciproque est fausse ! si la dérivée s'annule en a, alors a n'est pas forcément un extremum !

exemple : x -> x³ la pente (ou la dérivée) est nulle en 0. Pourtant, pas d'extremum...

Romain

[Seirios]

Salut,
Le maximum ou le minimum d'une fonction se calcule à l'aide des dérivées, je ne sais pas si tu connais déjà. Mais on fait le calcul suivant :
f(x)=ax²+bx+c
on dérive
f''(x)=2ax+b
Chercher le maximum ou le minimum revient à résoudre :
f'(x)=0 car la 'pente' de la fonction est nulle
2ax+b=0 x=-b/(2a)
si a>0 c'est un minimum, si a<0 c'est un maximum, en fait il faudrait faire un tableau de variation.
Pour le discriminant, ca vient de la forme matricielle, mais je ne sais pas comment on fait.

Je met ta démonstration au chaud : je suis pas encore arrivé aux dérivés (Merci )

Je rajoute quelques questions de démonstration (et je reformule quelques questions du post un) :
- D'où vient la propriété : x²-Sx+P=0 ? où S est la somme de deux nombres et P le produit des mêmes.
- Pourquoi un trinôme du second degré qui possède un discriminant strictement plus grand que zéro peut être factorisé en a(x-x1)(x-x2) où x1 et x2 sont les racines du trinôme, pourquoi un trinôme qui a lui un discriminant égale à zéro peut être factorisé en a(x-x0)² où x0 est la racine du trinôme et pourquoi un trinôme (du second degré bien sûr) qui a son discriminant strictement plus petit que zéro ne peut être factorisé ?
- Pourquoi la représentation graphique d'un trinôme du second degré dépend-elle de a dans ax²+bx+c ?
- D'où viennent les propriétés x1+x2=-b/a et x1.x2=c/a où x1 et x2 sont les racines du trinôme ax²+bx+c ?

Voilà
Merci d'avance

[rapporteur]

Bonjour
Pour ce qui est de la question pourquoi lorsque le disciminant est négatif il n'y a pas de solution?
Si tu relis soigneusement les 2 premières lignes d'équations postées par NISSART tu comprendra pourquoi.
Pour ce qui est de la somme et du produit.
Tu as l'expression des 2 racines x1 et x2. Additionne-les et regarde ce que tu trouves même chose pour le produit.
Et enfin pour ce qui est de ta première question il est déduit directement de ce qu'on vient de dire si on fait a=1
A bientot