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Somme des carré parfait.



  1. #1
    EaGle58

    Somme des carré parfait.

    Bonjour,

    Je viens de trouver ce site:http://fr.wikipedia.org/wiki/Carr%C3%A9_parfait
    qui donne une formule pour calculer 1²+2²+3²+...+n²,
    quelqu'un peut-il me donner une démonstration? En cherchant j'ai trouvé sur un site une démonstration par récurence, existe t-il une démonstration qui part de la relation: 1²+2²+3²+...+n² et qui arrive à la formule donné par le site?

    Merci d'avance

    -----


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  3. #2
    matthias

    Re : Somme des carré parfait.

    Il y a plusieurs méthodes.

    Une méthode à moitié honnête : tu supposes que tu obtiens un polynôme de degré 3 en n, tu en calcules les coefficients à l'aide des premiers termes, tu retombes sur la formule que tu vérifies par récurrence.

    Une méthode plus honnête : tu calcules de deux manières différentes.

  4. #3
    EaGle58

    Re : Somme des carré parfait.

    Bonjour,

    Merci de votre aide, mais je ne comprends pas très bien ce qu'il faut faire pour la 1er méthode, et pour la deuxieme je ne comprends pas la notation, je sais que le symbole signifie "somme" mais je ne comprends pas le reste.

  5. #4
    matthias

    Re : Somme des carré parfait.

    Bon d'abord pour les notations :
    signifie somme pour k variant de 1 à n.

    Par exmple :

    Pour la première méthode tu supposes que :
    0² + 1² + 2² + 3² + ... + n² = a.n3 + b.n² + c.n + d
    Pour n = 0, ça donne d = 0
    Pour n= 1, 2, 3 tu obtiens 3 autres équations, donc au final un système qui te permet de calculer a, b, c et d.
    Ensuite tu vérifies que la formule que tu as obtenue est la bonne en le montrant par récurrence.

    Pour la deuxième méthode, il y a deux choses à voir :


    et :


    donc :


    Au final, tu obtiens :


    qui peut encore se simplifier.

  6. #5
    Gwyddon

    Re : Somme des carré parfait.

    Effectivement, la première méthode est "malhonnête", pas bien de ta part matthias

    La deuxième méthode a l'avantage intéressant qu'elle est "naturelle" : on connaît la somme des k, on s'en sert pour avancer. On peut généraliser et faire de même pour la somme des k^3, des k^4, etc...
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    matthias

    Re : Somme des carré parfait.

    Citation Envoyé par 09Jul85
    Effectivement, la première méthode est "malhonnête", pas bien de ta part matthias
    Pas tant que ça. On peut d'abord montrer que la somme des puissances k-ème est un polynôme de degré k+1 en n, si on veut.
    Je trouve ça moins beau, mais aussi simple du point de vue calcul effectif.

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  10. #7
    EaGle58

    Re : Somme des carré parfait.

    Merci pour ton aide Matthias.

  11. #8
    homotopie

    Re : Somme des carré parfait.

    Citation Envoyé par matthias
    Pas tant que ça. On peut d'abord montrer que la somme des puissances k-ème est un polynôme de degré k+1 en n, si on veut.
    Je trouve ça moins beau, mais aussi simple du point de vue calcul effectif.
    Tout dépend de ce que l'on veut. Si on ne veut que les premiers polynômes : oui. Si on veut le polynôme permettant de calculer pour k grand, non, en tout cas pour la preuve que je connais.
    En effet, cette preuve est basée sur la recherche de polynômes tels que :
    i)
    ii)
    on peut l'exprimer de manière légèrement différente mais ceux-là sont les plus "jolis".
    On montre facilement par récurrence que les polynômes vérifiant i) sont égaux à une constante près. (Corollaire : ceux vérifiant i ) et ii) sont uniques)
    On prenant (k+1) fois la primitive de s'annulant en 0 on a presque (à une constante près) la bonne relation, il n'y a plus qu'à modifier par addition d'un multiple de .

    Ceci a le grand avantage de donner une relation de récurrence facile pour calculer les coefficients :

    Une manière simple de calculer c est de poser P(1)=P(0)+=1.
    Ainsi

    (on peut faire les deux en même temps avec un minimum de calcul mental)
    c=1-1/3-1/2=1/6

    Pour on obtient que c=0 et
    Le phénomène c=0 se répète (une fois sur deux : effet de l'antisymétrie en -1/2 pour k impair).
    Ainsi, en prenant les coefficents dans l'ordre décroissant des exposants : sauf le deuxième (qui vaut toujours 1/2) tous les autres sont nuls. (se montre facilement par récurrence en considérant P(-1)=0 et P(1)=1 et coeffs pairs non nuls sont le deuxième (qui vaut 1/2 !) et éventuellement la constante c.)
    Non seulement on a une relation de récurrence simple mais en plus, il n'y a que la moitié des coefficients à calculer.
    Je crains être sorti du niveau "mathématiques du collège et du lycée"

  12. #9
    matthias

    Re : Somme des carré parfait.

    Il faudrait regarder ce qui est plus efficace algorithmiquement. Je pense que le calcul successifs des polynômes doit être plus ou moins équivalent à un pivot de Gauss pour résoudre un système linéaire (on considère la preve théorique du caractère polynômiale faite une fois pour toute quelle que soit la méthode).

  13. #10
    EaGle58

    Re : Somme des carré parfait.

    Je ne comprends pas pourquoi




    Que signifie le 1 a droite de somme ?



    C'est bien egale a la somme de
    Pour moi le k a droite est une "formule" on doit faire varier k

    Donc pour
    On a
    C'est exacte?

    C'est pour ca que je ne comprend pas pourquoi


    Merci d'avance

  14. #11
    matthias

    Re : Somme des carré parfait.

    Ce qui te gêne, c'est qu'il n'y a pas de k. Mais ça n'est pas une obligation, 1 ne dépend pas de k donc tu rajoutes 1 quand k varie. Ca fait 1 + 1 + 1 + ... + 1 (n fois), donc n.

    Sinon tes autres formules sont exactes, mais tu peux voir que tu as mis toi-même un terme qui ne dépend pas de k, à savoir ton +2 dans 2k+2. Ca ne t'a pas posé de problème.

  15. #12
    EaGle58

    Re : Somme des carré parfait.

    D'accord j'ai compris merci pour ton aide.

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  17. #13
    homotopie

    Re : Somme des carré parfait.

    Citation Envoyé par matthias
    Il faudrait regarder ce qui est plus efficace algorithmiquement. Je pense que le calcul successifs des polynômes doit être plus ou moins équivalent à un pivot de Gauss pour résoudre un système linéaire (on considère la preve théorique du caractère polynômiale faite une fois pour toute quelle que soit la méthode).
    Certes, l'efficacité va être jugé algorithmiquement mais cette ébauche théorique me paraît efficace de ce point de vue.
    On part de P0=X pour aller à P100, on va de 2 en 2 (une fois sur deux pas de coeff à calculer). Néanmoins il faut multiplier deux fois (il est possible qu'il y ait quelques simplifications mais je n'en ai tenu compte pour aucune des méthodes).
    Le 1er coeff va être multiplié 100 fois, le deuxième 99... soit 5050 multiplications. (progression en n²). On aura du calculer 51 coeff par addition (égalité à 1). Une addition pour le 1er, 2 pour le 2ème... soit 1326 additions (n²).

    Pivot de Gauss à partir de P100(x+1)-P100(x)=x^100.
    52 inconnues (j'ai supposé connu le résultat pour les coeff "pairs", question d'équité, de même j'ai supposé "inconnu" l'expresssion simple des deux premiers coeff car où s'arrête le simple? les troisième, quatrième aussi ont une expression que l'on peut considérer simple, c'est l'expression générale qui pose problème, je crois qu'il n'y en a pas).
    Triangularisation "bourrine" (calcul du coeff par division, Li-coeff.L1, i variant de 2 à 52, on recommence avec L2...), j'ai trouvé
    35.526 multiplications pour autant d'additions. (progression en n^3) et 1326 divisions (progression en n²)
    Résolution du système triangularisé + et X progression en n², divion progression en n.

    Méthode on calcule de deux manières différentes (très élégantes par ailleurs) me paraît entre les deux mais plus proches du pivot de Gauss "bourrin".

    Je sais qu'on peut améliorer la méthode "bourrine" pour le pivot de Gauss mais je ne sais pas (plus) à quel point. Néanmoins, je pense que """ma""" méthode est la plus efficace : on passe quand même très facilement d'un polynôme au suivant.

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