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Calcul du volume de liquide dans un réservoir en fonction de la hauteur de liquide

  1. Anthony39

    Date d'inscription
    juin 2010
    Messages
    132

    Calcul du volume de liquide dans un réservoir en fonction de la hauteur de liquide

    Bonjour,

    Je me suis proposé de résoudre la problématique suivante proposé par un collègue de travail:

    Celui-ci possède un chauffe eau et il aurait aimé savoir le volume d'eau à l'intérieur du chauffe eau en fonction de la hauteur d'eau relevée dans la cuve qui est horizontale.

    La cuve est de forme cylindrique avec deux arrondis à ses extrémités.

    Nous avons donc pour résoudre ce problème 3 paramètres:

    L: La longeur du cylindre
    R: le rayon du cylindre
    r : la largeur de l'élipse formant l'arrondi de la cuve

    et à priori une variable :

    y : la hauteur de liquide dans la cuve.

    On cherche donc v(y).

    J'ai déjà obtenu les formules permettant de déterminer le volume sur un site internet qui nous donne:

    V_demi_élipse (y) = ( Pi * r * ( 3*R-y)*y²)/(3*R)

    V_cylindre (y) = L ( racine ((2R-y)*y) * (y-R) + R² arccos( 1 - y/R))

    Voici le site source :

    http://vps.arachnoid.com/TankCalc/

    Mon objectif serait d'arriver à retrouver ces deux formules par le calcul.

    A priori, je dois utiliser la formule :

    http://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3%A9grale_multiple

    Par contre je n'arrive pas à réaliser l'intégration.

    Je souhaiterais commencer par la portion de cylindre:

    cylindre rempli.jpg

    cylindre partiellement rempli.jpg

    Je pense que je peux définir mon domaine D de la manière suivante :

    D ={ (x,y)| x² + (y-r)² < R² , 0 < y < Y } avec Y ma hauteur de remplissage.

    schéma.jpg

    Une fois ces conditions obtenu, je ne sais pas comment les utiliser pour réaliser le calcul de l'aire qui me permettra d'obtenir le fameux volume.

    J'en appelle donc aux sympatiques mathématiciens ou matheux qui souhaiteraient m'aider à résoudre ce problème.

    Merci d'avance.

    Anthony


     


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  2. breukin

    Date d'inscription
    juin 2006
    Localisation
    Grenoble
    Messages
    1 537

    Re : Calcul du volume de liquide dans un réservoir en fonction de la hauteur de liquide

    Pourquoi faire compliqué : la surface de la lunule, c'est la surface du secteur moins la surface du triangle (il vaut mieux prendre la hauteur inférieure au rayon pour commencer).
    La surface du secteur, c'est , pour que ça fasse si .
    Et bien sûr .
    Quant à la surface du triangle, c'est bien sûr sa demi-base fois sa hauteur, soit .
    Donc en multipliant par la longueur:
    .
     

  3. Anthony39

    Date d'inscription
    juin 2010
    Messages
    132

    Re : Calcul du volume de liquide dans un réservoir en fonction de la hauteur de liquide

    Bonjour,

    J'ai analysé ta réponse et je dois admettre que tu as tout à fait raison. Le calcul est en effet très simple dans sa décomposition en une portion de disque et un triangle.

    Néanmoins, je serais quand même curieux de savoir comment le calculer à l'aide d'une intégrale. J'aimerais voir et comprendre la méthodologie à appliquer. Bien qu'il est probablement possible d'appliquer une méthode simple à bon nombre de cas comme tu viens de m'en faire la leçon.

    En tout cas je proposerai cette solution très élégeante ç mon collègue.

    Merci,

    Anthony
     

  4. breukin

    Date d'inscription
    juin 2006
    Localisation
    Grenoble
    Messages
    1 537

    Re : Calcul du volume de liquide dans un réservoir en fonction de la hauteur de liquide


    Qui s'intègre par parties en posant
     

  5. Anthony39

    Date d'inscription
    juin 2010
    Messages
    132

    Re : Calcul du volume de liquide dans un réservoir en fonction de la hauteur de liquide

    Bonjour,

    Merci pour ta réponse.

    Si je comprend bien tu pars de la formule x² + y² = R²
    ce qui donnerait y = racine ( R² - x² )

    et tu intègres de R/h à R pour que si h = 0 on a intégrale nulle et si h = R on a de -R à R.

    tu multiplies ton intégrale par 2 car la solution obtenue est la moitié de la surface qui est symétirque. L'intégrale simple ne donnerait que la partie supérieure de la courbe.

    Ai-je bien compris ton calcul?

    u serait dans mon cas y.

    Cordialement

    Anthony
     


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  6. florent54000

    Date d'inscription
    novembre 2012
    Localisation
    PARIS
    Messages
    5

    Re : Calcul du volume de liquide dans un réservoir en fonction de la hauteur de liquide

    Up!

    Je ne comprend pas comment tu passe de à .
     

  7. breukin

    Date d'inscription
    juin 2006
    Localisation
    Grenoble
    Messages
    1 537

    Re : Calcul du volume de liquide dans un réservoir en fonction de la hauteur de liquide

    en faisant un changement de variable u=Rt
     

  8. freibier92

    Date d'inscription
    avril 2013
    Localisation
    Paris
    Messages
    7

    Re : Calcul du volume de liquide dans un réservoir en fonction de la hauteur de liquide

    merci! j'ai essayé mais je bloque par la suite:

    u=RACINE(1-t^2) & v'=1




    Pour intégrer je pose t=cos(t) & dt=-sint(t)

    donne sin(t) en bas et s'annule avec le dt= -sin(t) en haut

    Donc



    et tout à la fin je me retrouve avec du

    avec a= 1-H/R

    la réponse devrait être du type (source http://debart.pagesperso-orange.fr/t...ale.html#ch2):

    Si je pose t=cos(t) les bornes de l'intégrale qui était de 1 à a-H/R devrait être de cos(1) à cos(1-H/R)??? je ne comprend pas d'ou sort le dans la réponse
     

  9. freibier92

    Date d'inscription
    avril 2013
    Localisation
    Paris
    Messages
    7

    Re : Calcul du volume de liquide dans un réservoir en fonction de la hauteur de liquide

    Citation Envoyé par breukin Voir le message
    en faisant un changement de variable u=Rt
    Bon j'ai totalement réussi, je te remercie.

    Il y a cependant une étape que je n'ai pas compris:

    quand tu fais u=Rt on factorise les R^2 dans la Racine, donc il ne devrait pas être au carré en dehors de la racine?

    Cordialement,
     

  10. breukin

    Date d'inscription
    juin 2006
    Localisation
    Grenoble
    Messages
    1 537

    Re : Calcul du volume de liquide dans un réservoir en fonction de la hauteur de liquide

    Oui, mais il y en a un deuxième, dû au changement de variable, justement.
     

  11. freibier92

    Date d'inscription
    avril 2013
    Localisation
    Paris
    Messages
    7

    Re : Calcul du volume de liquide dans un réservoir en fonction de la hauteur de liquide

    merci encore, j'avais oublié le "du"
     


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