Calcul de limites

**jules345** · 04/09/2010, 21h00

Bonjour,

Je dois calculer la limite suivante: $\text{[math]}$

Mon problème est que je ne sais pas si je dois utiliser un dl de tan puis faire un changement de variable parce que arccos n'admet pas de dl en 0.

**Sexygillou** · 04/09/2010, 21h12

x/tan(x) ne fait pas 1 en 0 ?
et pourquoi arccos n'admettrait pas de dl en 0 ?

**jules345** · 04/09/2010, 21h18

oui j'y ai effectivement pensé avec les équivalents mais dans ce cas j'ai arccos(1)*1/x et j'ai une forme indéterminée.

**mimo13** · 04/09/2010, 21h25

Salut,

$\text{[math]}$ .

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**jules345** · 04/09/2010, 21h32

Euh mimo13 comment as tu trouvé cet équivalent ?

**mimo13** · 05/09/2010, 01h45

Envoyé par jules345

Euh mimo13 comment as tu trouvé cet équivalent ?

En calculant la limite du quotient.

**jules345** · 05/09/2010, 11h11

Ok parce que j'ai essayé mais je n'arrive pas à montrer que ce quotient tend vers 1 en 0:

J'arrive à $\text{[math]}$

Mais je vois pas trop comment procéder pour montrer que sa tend vers 1 en 0.

**jules345** · 05/09/2010, 14h03

J'ai demandé à maple la limite et apparemment la fonction n'est pas continue en 0 puisque en 0- la limite est (-1/3)(6)^(1/2) et en O+ c'est
(1/3)(6)^(1/2) par contre je n'arrive toujours pas à ces résultats

.

**jules345** · 05/09/2010, 16h28

J'ai réussit à arriver à la : arccos(1-(x²/3)+o(x^4)) Le problème c'est que je n'arrive pas à avoir un développement limité avec arccos j'ai bien essayé cela arccos(x)=Pi/2-x-(x^3)/6 mais je n'y suis pas arrivé. Merci de votre aide =)

**jules345** · 05/09/2010, 17h07

Quelqu'un ?

**indian58** · 05/09/2010, 17h18

Envoyé par jules345

J'ai réussit à arriver à la : arccos(1-(x²/3)+o(x^4)) Le problème c'est que je n'arrive pas à avoir un développement limité avec arccos j'ai bien essayé cela arccos(x)=Pi/2-x-(x^3)/6 mais je n'y suis pas arrivé. Merci de votre aide =)

Il reste à trouve un dl de arccos en 1. Pour cela, utilise le fait que (arcos x)' = 1/racine(1-x²). Tu déduiras alors un dl de (arccos)' que tu pourras intégrer. Ensuite, ce n'est qu'une composition de DLs.

**jules345** · 05/09/2010, 17h27

Ok ben je trouve racine de 6/3 si x tend vers 0+ mais n'y a t-il pas un autre moyen plus simple plutot que d'intégrer ?

Par exemple en utilisant le dl de arccos(x)=Pi/2 -x-(1/6)x^3 +o(x^3)?

**indian58** · 05/09/2010, 17h32

Envoyé par jules345

Ok ben je trouve racine de 6/3 si x tend vers 0+ mais n'y a t-il pas un autre moyen plus simple plutot que d'intégrer ?

Par exemple en utilisant le dl de arccos(x)=Pi/2 -x-(1/6)x^3 +o(x^3)?

Fais gaffe, ce que tu m'indiques est un DL de arccos en 0 (et non en 1).

**jules345** · 05/09/2010, 17h33

Oui mais je veux dire que si on fait le changement de variable h=1+x avec x tendant vers 0 sa peut marcher ?

**indian58** · 05/09/2010, 17h37

Envoyé par jules345

Oui mais je eux dire si on fait le changement de variable h=1+x avec x tendant vers 0 sa peut marcher ?

Non.

D'une part ce n'est pas h = 1 +x (car arccos n'est pas défini pour x > 1) mais h = 1 - x avec x -> 1-

En fait, calculer le DL de Arccos en 1 revient à calculer le DL de arccos(1-h) en 0. Donc, cette fonction arccos(1-h), tu la dérive, tu la DLises et tu l'intègres.
Ou ALORS, tu fais un développement de Taylor en 0 (et dans ce cas, faudra que tu calcules les dérivées seconde, troisième voire quatrième en 0). C'est d'ailleurs peut-être le plus simple.

**jules345** · 05/09/2010, 18h20

Ok ben merci encore pour ton aide

. Maitenant je dois calculer une derniere limite

c'est $\text{[math]}$

Je pensais faire un changement de variable h=1/x pour utiliser les dl en 0.

**indian58** · 05/09/2010, 18h22

Envoyé par jules345

Ok ben merci encore pour ton aide

. Maitenant je dois calculer une derniere limite

c'est $\text{[math]}$

Je pensais faire un changement de variable h=1/x pour utiliser les dl en 0.

Oui, le changement de variable est a priori judicieux.

**mimo13** · 05/09/2010, 18h22

Envoyé par jules345

Ok parce que j'ai essayé mais je n'arrive pas à montrer que ce quotient tend vers 1 en 0:

J'arrive à $\text{[math]}$

Mais je vois pas trop comment procéder pour montrer que sa tend vers 1 en 0.

Je ne sais pas à quoi vous pensez ni les calculs que vous avez fait mais c'est direct.

La fonction $\text{[math]}$ .

Donc $\text{[math]}$ .

Et par suite: $\text{[math]}$ .

Apres il reste à trouver une limite de $\text{[math]}$ ce qui et facile si on sait que $\text{[math]}$ .

Je te laisse continuer.

**jules345** · 05/09/2010, 18h28

Ok ben merci mimo13 en fait j'avais utilisé le quotient mais tes explication me semblent beaucoup plus clair

.

indian58: Le problème c'est que je ne sais pas quoi faire avec racine de ((1/h)+3) je ne vois pas comment faire un dl. Encore merci pour tes conseils

**indian58** · 05/09/2010, 18h36

Envoyé par jules345

Ok ben merci mimo13 en fait j'avais utilisé le quotient mais tes explication me semblent beaucoup plus clair

.

indian58: Le problème c'est que je ne sais pas quoi faire avec racine de ((1/h)+3) je ne vois pas comment faire un dl. Encore merci pour tes conseils

$\text{[math]}$

**jules345** · 05/09/2010, 18h46

Par contre pour arcsin et arctan j'utilise des dl en O ?

**indian58** · 05/09/2010, 18h48

Envoyé par jules345

Par contre pour arcsin et arctan j'utilise des dl en O ?

Tu remplaces x par 1/h et tu sors les Dls en 0.

**jules345** · 05/09/2010, 18h56

Ok parce que je trouve :

$\text{[math]}$ Et je vois pas trop comment faire après ?

**indian58** · 05/09/2010, 19h02

Envoyé par jules345

Ok parce que je trouve :

$\text{[math]}$ Et je vois pas trop comment faire après ?

Attention c'est o(racine(h)) et non O(racine(h)).

Je te fais confiance pour les calculs (j'ai passé l'âge de me taper les DLs et autres amusements de ce genre

).
Tu développes ce produit, tu regroupes les termes et tu en déduis la limite, qui a priori serait +infini?? T'as pas fait des erreurs de calculs?

**jules345** · 05/09/2010, 19h15

Ben en fait j'ai utilisé les équivalent arcsin u ~u et arctan u~u en 0 bien sur et vu que j'avais pour arcsin u u=1/(1+h) une fois que j'ai enlevé l'arcsin avec l'équivalent j'ai fait un dl de 1/(1+h)

**indian58** · 05/09/2010, 19h25

Envoyé par jules345

Ben en fait j'ai utilisé les équivalent arcsin u ~u et arctan u~u en 0 bien sur et vu que j'avais pour arcsin u u=1/(1+h) une fois que j'ai enlevé l'arcsin avec l'équivalent j'ai fait un dl de 1/(1+h)

Ouh là là, mais ma parole c'est pas très correct ce que tu fais là. Quand tu fais des compositions de Dls, garde toujours le même ordre. Tu fais un DL de 1/(1+h) à l'ordre n et tu le compose par un DL à l'ordre 1 (ton équivalent) donc tu vas te retrouver avec un DL à l'ordre 1 en oubliant des termes (ceux qui viennent du produit des premiers terme de 1/(1+h) par les termes suivants du arcsin). Et le DL à l'ordre 1 ne suffit pas.

Donc fais le DL de 1/(1+h) à l'ordre 2 (par exemple, peut-être que ça ne sera pas assez) et celui de arcsin à l'ordre 2 (ou plus si nécessaire). Et ne retiens que les termes supérieurs à deux. Ensuite, la même chose pour le arctan. Regarde le résultat final et si tu n'obtiens pas 0, c'est bon! Sinon, pousse les Dls plus loin. C'est chiant mais c'est la prépa et je recommande de maîtriser la DLisation à la perfection. C'est très utile pour les concours où il faut aller vite.

**jules345** · 05/09/2010, 19h28

Ok ben merci pour tes conseils

. Mais le dl avec de racine de (1/h)+3 il est à l'ordre racine de h ? et les autres sont à l'ordre 2 ?

**indian58** · 05/09/2010, 19h34

Envoyé par jules345

Ok ben merci pour tes conseils

. Mais le dl avec de racine de (1/h)+3 il est à l'ordre racine de h ? et les autres sont à l'ordre 2 ?

Oui c'est un peu bizarre, mais comme je l'ai dit, je n'ai pas envie de faire les calculs. Après tout, c'est peut-être correct.

**SchliesseB** · 05/09/2010, 20h12

à la fin, on trouve que ça tend vers $\text{[math]}$

Il y a forcement (au moins) une erreur.

donne nous tes lignes de calculs (ne serait-ce que le début) et on te guidera.

**jules345** · 05/09/2010, 20h23

Mais en fait ce que j'ai fais revient au même car pour arctan et arcsin les termes en degré n'existent pas il n'y a qu'au degré 3.

Et j'ai demandé à maple la limite il me dit que c'est -racine de 2.

Calcul de limites