Résolution equation degré 3 avec nombres complexes

[invitea8b8e1ae]

Bonjour

Avant toute chose sachez que les mathématiques ne sont pas mon fort et en particulier les nombres complexes.
Voici l'équation :
f(z) = z³-(16-i)z²+(89-16i)z+89i

Je dois montrer que f(z)=0 admet une racine imaginaire pure que je déterminerai. Puis résoudre dans C f(z)=0.

Cela aurait été du second degré j'aurais pas eu de problèmes ou peu, mais lorsqu'il s'agit d'un degré 3, déjà je ne sais pas calculer le discriminant...
Comment dois-je procéder ?

Merci d'avance de votre aide

[Médiat]

Bonjour

Comment dois-je procéder ?

Savez-vous comment traduire "f(z)=0 admet une racine imaginaire pure" ?

[invitea8b8e1ae]

Merci pour vos réponses.

un imaginaire pur c'est lorsque z est sous la forme z=iy (donc x=0), n'est ce pas ?

[invite51d17075]

Merci pour vos réponses.

un imaginaire pur c'est lorsque z est sous la forme z=iy (donc x=0), n'est ce pas ?

ben en général on ecrit z=x+iy c'est vrai ! mais ça ne change rien à la méthode

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

un imaginaire pur c'est lorsque z est sous la forme z=iy (donc x=0), n'est ce pas ?

Oui, donc en remplaçant z par iy dans l'équation vous obtiendrez une équation dont l'inconnu est y qui est réel, il vous suffira alors de dire que la partie réelle et la partie imaginaire doivent être nulles en même temps, et l'une de ces deux équations sera particulièrement simple.

[invitea8b8e1ae]

Oui, donc en remplaçant z par iy dans l'équation vous obtiendrez une équation dont l'inconnu est y qui est réel, il vous suffira alors de dire que la partie réelle et la partie imaginaire doivent être nulles en même temps, et l'une de ces deux équations sera particulièrement simple.

J'ai remplacé dans mon équation z par iy, je trouve :

(iy)³-(16-i)(ib)²+(89-16i)(ib)+89i=0
Je distribue :
-ib³+16b²-ib²+89ib+16b+89i=0

Me suis-je trompée ? Car je trouve sa pas si simple...

[Médiat]

-ib³+16b²-ib²+89ib+16b+89i=0

Me suis-je trompée ? Car je trouve sa pas si simple...

Oui, mais cette fois l'inconnue (b) est un réel et non un complexe, donc si vous écrivez le membre de gauche sous la forme X + iY = 0, avec X et Y des réels, bien sur, cette équation sera équivalente à :
X = 0
et
Y = 0

Et je vous promets que ce sera simple

[invitea8b8e1ae]

Oui, mais cette fois l'inconnue (b) est un réel et non un complexe, donc si vous écrivez le membre de gauche sous la forme X + iY = 0, avec X et Y des réels, bien sur, cette équation sera équivalente à :
X = 0
et
Y = 0

Et je vous promets que ce sera simple

Vous voulez dire
(16b2+16b)+i(b3-b2+89b+89)= 0 ?

[Médiat]

Vous voulez dire
(16b2+16b)+i(b3-b2+89b+89)= 0 ?

oui ... Simple, non ?

[Médiat]

oui ... Simple, non ?

Ce serait sympa d'écrire les exposants proprement (regardez les balises en haut à droite de l'éditeur)

[invitea8b8e1ae]

Ce serait sympa d'écrire les exposants proprement (regardez les balises en haut à droite de l'éditeur)

Ha oui mince, je les aient oublié cette fois.

J'ai calculé (16b²-16b)=0, je trouve -1 comme solution

et là je suis entrain de calculer l'autre partie égale 0, puisqu'il a "une racine imaginaire pure" comme dis l'énoncé je dois tomber sur la même chose, non ?

[invitea8b8e1ae]

Et si la réponse est bien -1, écris correctement la solution de la question est z=i^2 n'est pas ?

[Médiat]

J'ai calculé (16b²-16b)=0, je trouve -1 comme solution

Pas vraiment (il suffit de mettre 16b en facteur, et vous trouverez 2 solutions, dont vous devrez vérifier si elle sont aussi solution de l'équation avec la partie imaginaire (une seule va marcher).

[invite51d17075]

Bonjour

Avant toute chose sachez que les mathématiques ne sont pas mon fort et en particulier les nombres complexes.
Voici l'équation :
f(z) = z³-(16-i)z²+(89-16i)z+89i

Je dois montrer que f(z)=0 admet une racine imaginaire pure que je déterminerai. Puis résoudre dans C f(z)=0.

Cela aurait été du second degré j'aurais pas eu de problèmes ou peu, mais lorsqu'il s'agit d'un degré 3, déjà je ne sais pas calculer le discriminant...
Comment dois-je procéder ?

Merci d'avance de votre aide

bonjour, on te donne la piste.
soit chercher x tel que z=xi et f(z)=0

pour la suite f(x) =(z-xi)g(x), g étant du second degré